Buen Libro de Estadistica Descripotiva con ejemplos prácticos

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INSTITUTO SUPERIOR TECNOLÓGICO NORBERT WIENER

Manual del Alumno

ASIGNATURA: Estadística I

Lima-Perú

Los hombres dudan muchas veces antes de dar el primer paso, porque piensan que no podrán alcanzar la meta que se han propuesto. Esta actitud es el principal obstáculo que se opone a su progreso, y que cada uno de nosotros con un pequeño esfuerzo de voluntad puede vencer.

Mahatma Gandhi

ESTADISTICA I

Índice General

Pag N° 1. Estadística General................................................................................................... 5

2. Estadística Descriptiva........................................................ 7

3. Las Variables Estadísticas................................................. 10

4. La Organización de los Datos…........................................ 11

5. Práctica Calificada……..........................................................

6. Presentación de los Datos.................................................. 24

7. Estadígrafos de Tendencia Central.................................... 25

8. Estadígrafos de Tendencia Central.................................... 29

9. Estadígrafos de Tendencia No Central.............................. 35

11 Estadígrafos de Dispersión…............................................. 41

12. Distribución Bidimensional............................................... 34

14. Regresión Lineal…............................................................ 45

15. Regresión Lineal - Análisis de Correlación....................... 49

16. Análisis de Regresión Lineal............................................. 65

17. Números Indices................................................................ 75

Problemas resueltos…............................................................ 83

10. Problemas propuestos....................................................... 90

SESION #1

CAPITULO I – ESTADISTICA GENERAL

DEFINICION Y CLASIFICACION DE LA ESTADISITICA

ESTADISTICA: Es una ciencia aplicada a cualquier tema del saber humano y se encarga de recopilar, ordenar, clasificar y presentar una información llamada Muestra, con el fin de inferir acerca del comportamiento de una población.

La Estadística se clasifica en:

1. Estadística Descriptiva; es la que se encarga de recopilar, ordenar, clasificar y presenta una información, llamada muestra aleatoria.

2. Estadística Inferencial; es la parte de la Estadística que se encarga de inferir sobre el comportamiento de una población a partir de una muestra, bajo un margen de error o incertidumbre que es cuantificado por la teoría de probabilidades.

CONCEPTOS FUNDAMENTALES EN ESTADISTICA

POBLACION: Es un conjunto de observaciones que tienen una característica en común la cual se desea estudiar, la población representa la totalidad de elementos de un determinado estudio y puede ser finita o infinita.

Ejemplos:

1. Habitantes de Lima (aptos para el sufragio). Población Infinita

2. Alumnos de WIENER (altura en mts.) Población Finita

Una población si es infinita no se puede estudiar en forma completa; aún si es finita es muy engorroso estudiarla en forma completa por que involucra pérdida de tiempo, dinero, etc., por esta razón nos basamos en una muestra aleatoria.

MUESTRA

Es un subconjunto de la población y para que la muestra sea representativa debe ser aleatoria o no sesgada.

Una muestra es aleatoria cuando cada elemento de la población tiene la misma posibilidad de ser seleccionado en la muestra.

La demostraremos por: n= tamaño de la muestra ó número total de observaciones en la muestra.

Ejemplos:

1. Encuesta a 900 personas de Lima aptos para el sufragio. n = 900

2. Altura (mts) de 45 alumnos de WIENER

n = 45.

PARAMETRO

Número que representa a la población. Este valor generalmente es estimado a partir de una muestra, porque para que sea calculado exactamente se requiere de la información completa de una población lo cual es muy difícil (los procesos de estimación de parámetros será tema de estudio en Estadística Inferencial).

ESTADIGRAFO

Llamado también estadístico o estimador. Número que representa a la muestra y que puede ser calculado teniendo la información de una muestra. Los Estadígrafos se dividen en:

1. Estadígrafos de Posición o Tendencia Central: Son aquellos números que tienden al centro de las observaciones.

2. Es tadígrafos de Dispersión: Son aquellos números que cuantifican la variabilidad de las observaciones de una muestra.

DATO:

Es la recopilación o anotación de cada característica de las observaciones de una muestra.

Ejemplo:

Altura (mts) de n=5 alumnos de WIENER: 1.65, 1.59, 1.68, 1.63,

1.69.

SESION # 2

CAPITULO II – ESTADISTICA DESCRIPTIVA

La Estadística Descriptiva, se encarga de recopilar la información de una muestra aleatoria, esta información tiene que ser ordenada para una buena presentación; Esta ordenación se basa en las llamadas Tablas de Frecuencias y también en los Gráficos Estadísticos.

RECOPILACION DE DATOS

Es el momento en el cual el investigador se pone en contacto con los objetos o elementos sometidos a estudio, con el propósito de obtener datos o respuestas de las variables consideradas; a partir de estos

datos o respuestas se calculan los Estadígrafos o indicadores estadísticos.

FUENTES DE DATOS

La fuente de datos, es el lugar, la institución, las personas o elementos donde están o que poseen los datos que se necesitan para cada uno de las variables o aspectos de la investigación o estudio.

En general, se puede disponer de cinco tipos de fuentes de datos:

1. Las Oficinas de Estadística.- Como instituciones responsables de recopilar, procesar y publicar las estadísticas sociales o nacionales.

2. Archivos o Registros Administrativos.- Como el Registro Civil, Electoral, Escalafón o Personal, Padrón de Contribuyentes, etc.. Estos registros no tienen fines Estadísticos, su función es de tipo legal y administrativo, sin embargo pueden utilizarse como fuentes de datos estadísticos.

3. Documentos.- Boletines, e informes estadísticos que son las publicaciones o estudios que preparan los organismos especializados.

4. Encuestas y Censos.- Son fuentes directas y especiales, que se construyen en un momento determinado, recopilando datos de una parte o de la totalidad de una población.

5. Los Elementos o Sujetos.- Son aquellos que están sometidos a un estudio, pueden ser personas, instituciones, animales u objetos.

TECNICAS DE RECOPILACION O RECOLECCION DE DATOS

Es el conjunto de métodos y procedimientos que se llevan a cabo para recolectar los datos.

Las más frecuentes técnicas utilizadas son:

1. La Observación.- Es la acción de mirar de mirar en forma sistemática y profunda, con el interés de descubrir la importancia de aquello que se observa.

2. La Técnica Documental.- Es aquella que busca datos a través de documentos, fuentes escritas o gráficas de todo tipo. Ejm.: Libros, Informes, Autobiografías, fotografías, planos, videos, etc.

3. La Entrevista.- Es la interrelación o diálogo entre personas, donde una de ellas se llama Entrevistador o Encuestador quien solicita a otra persona llamada Entrevistado o Encuestado le proporcione algunos datos o información.

4. El Cuestionario.- Es un instrumento constituido por un conjunto de preguntas sistemáticamente elaboradas, que se formulan al Entrevistado o Encuestado, con el propósito de obtener los datos de las variables consideradas en el estudio. El Cuestionario se desarrolla en el Formulario o Cédula, en donde las preguntas están debidamente organizadas.

5. La Encuesta.- Es la técnica por la cual se obtiene la información tal como se necesita, preparada exprofesamente y con objetivo estadístico. Permite observar y registrar características en las unidades de análisis de una determinada población o muestra,

delimitada en el tiempo y en el espacio. El Entrevistado da respuesta a las preguntas en el formulario o Cédula..

SESION # 3

CAPITULO III – LAS VARIABLES ESTADISTICAS

LA VARIABLE:

Es la representación simbólica de los datos.

Ejemplo:

Sea X: altura de 5 alumnos de WIENER Donde: Xi, i= 1 a 5 X1= 1.65 mts., X4 = 1.63 mts.

Las variables se clasifican en:

I. Variable Cualitativa: Es aquella variable que representa a datos que indican cualidades, características, propiedades, etc., no son numéricas (no medibles).

Ejemplos:

X = Control de calidad de productos de una industria. Bueno, Malo, Regular, Muy Bueno.

Y = Estado Civil de una muestra de 200 personas. Soltero, Casado, Viudo, Divorciado.

II. Variable Cuantitativa: Es aquella variable que representa a datos que indican valores numéricos (son medibles), y se clasifican en:

Variable Discreta: Es aquella que representa a datos numéricos que no se pueden fraccionar, sirven para contar o enumerar (pertenecen a los reales).

Variable Continua: Es aquella variable que representa a datos que pueden ser fraccionados (pertenecen a los reales).

Ejemplo: El Peso (Kg.) de 6 personas. 65, 56, 59, 70, 63.

La variable continua es la que más utilizamos, especialmente para los estudios correspondientes en Ingeniería (Volumen, Temperatura, Pesos, Mediciones, etc.).

SESION # 4

CAPITULO IV – LA ORGANIZACIÓN DE LOS DATOS

Distribución o Tablas de Frecuencias: Es la condensación, simplificación, ordenación, del conjunto de observaciones que forman la muestra; la característica principal es no perder ningún dato de la muestra.

También se puede decir que la Distribución de Frecuencia es la representación estructurada, en forma de tabla, de toda la información que se ha recogido sobre la variable que se estudia.

Categorías o Clases.- Son los datos que están agrupados por sus características comunes.

Frecuencia de Clases.- Es el número o cantidad de datos que componen una Categoría o Clase. Las Frecuencias se clasifican en :

1. Frecuencia Absoluta (Simple).- Representa a la cantidad de datos de cada Clase.

2. Frecuencia Absoluta Acumulada.- Representa a la suma en forma acumulativa de Clase en Clase de sus respectivas Frecuencias Absolutas.

3. Frecuencia Relativa (Simple) .- Es el % que representa a la cantidad de datos de una Clase con respecto al total de datos.

4. Frecuencia Relativa Acumulada.- Representa a la suma en forma acumulativa de Clase en Clase de sus respectivas Frecuencias Relativas.

Veamos un ejemplo (4.1) :

Medimos la altura de los niños de una clase y obtenemos los siguientes resultados (cm):

Alumno	Estatura	Alumno	Estatura	Alumno	Estatura

Alumno 1	1,25	Alumno 11	1,23	Alumno 21	1,21
Alumno 2	1,28	Alumno 12	1,26	Alumno 22	1,29
Alumno 3	1,27	Alumno 13	1,30	Alumno 23	1,26
Alumno 4	1,21	Alumno 14	1,21	Alumno 24	1,22
Alumno 5	1,22	Alumno 15	1,28	Alumno 25	1,28
Alumno 6	1,29	Alumno 16	1,30	Alumno 26	1,27
Alumno 7	1,30	Alumno 17	1,22	Alumno 27	1,26
Alumno 8	1,24	Alumno 18	1,25	Alumno 28	1,23
Alumno 9	1,27	Alumno 19	1,20	Alumno 29	1,22
Alumno 10	1,29	Alumno 20	1,28	Alumno 30	1,21

Si presentamos esta información estructurada obtendríamos la siguiente Tabla de Frecuencias:

Variable	Frecuencias Absolutas		Frecuencias Relativas
(Valor)	Simple	Acumulada	Simple	Acumulada

1,20	1	1	3,3%	3,3%
1,21	4	5	13,3%	16,6%
1,22	4	9	13,3%	30,0%
1,23	2	11	6,6%	36,6%
1,24	1	12	3,3%	40,0%
1,25	2	14	6,6%	46,6%
1,26	3	17	10,0%	56,6%
1,27	3	20	10,0%	66,6%
1,28	4	24	13,3%	80,0%
1,29	3	27	10,0%	90,0%
1,30	3	30	10,0%	100,0%

Si los valores que toma la variable son muy diversos y cada uno de ellos se repite muy pocas veces, entonces conviene agruparlos por intervalos, ya que de otra manera obtendríamos una tabla de frecuencia muy extensa que aportaría muy poco valor a efectos de síntesis.

Según los tipos de variables y formas de la tabla de frecuencias, tendremos las siguientes Tablas de frecuencias

1ER. CASO: Tablas de Frecuencias para la variable Cualitativa:

En este caso como la variable cualitativa indica cualidades, propiedades, etc., y no son medibles; entonces se agrupa de acuerdo a cada categoría que se diferencia en la variable cualitativa. (Sin un orden establecido).

Ejemplo: (4.2).

Se tiene la siguiente información que representa el Estado Civil de 50 personas encuestadas (edad; 20-30 años).

Estado Civil	No. de personas	%
Soltero	25	50%
Casado	10	20%
Viudo	1	2%
Divorciado	6	12%
Conviviente	8	16%

Los gráficos que se presentan en este caso son los siguientes: 1). Diagrama de barra:

2. Gráfico por Sectores Circulares.

2DO. CASO: Tabla de frecuencia para la variable discreta y n < 30 :

En este caso la variable es discreta y la muestra pequeña, además hay que considerar que no haya muchos datos diferentes. La Tabla de frecuencias es por CLASES, donde cada clase representa el valor numérico de la variable.

La tdf es de la sgte. forma general:

Clase Xi	Fi	Fi	hi	Hi
x1	f1	F1	h1	H1
x2	f2	F2	h2	H2
.	.	.	.	.
.	.	.	.	.
.	.	.	.	.
Xm	Fm	Fm=n	hm	.Hm=1

Donde:

n = numero de clases o intervalos de clase.

fi = frecuencia absoluta: es el número de observaciones que hay en cada clase o intervalo de clase. Además:

fi+f2+f3+.... + fm =n

Fi = frecuencia absoluta acumulada: es el numero de observaciones acumuladas hasta la clase i, es decir:

F1=f1 F2=f1+f2

Fm=f1+f2+f3...+fm =

hi = frecuencia relativa: representa la relación que existe entre la frecuencia absoluta y el número total de observaciones:

Generalmente la frecuencia relativa se expresa en forma porcentual: hi % = 100%.

Hi = frecuencia relativa acumulada: frecuencias relativas acumuladas hasta la clase i.

Hi=h1 H2=h1+h2

. Hm=h1+h2+....hm=1

También :

Se expresa en forma porcentual. Hi x 100%

Ejemplo:

Los siguientes datos representan el numero de defectos en 15

diskettes: 5, 10, 5, 11,6,6,3,3,3,5,5,5,10,6,3.

Agrupar en tabla de frecuencias:

Solución:

Como la muestra es pequeña y la variable representa a datos discretos, entonces agrupamos en clases:

No de Defectos Xi	No. diskettes fi	Fi	hi%	Hi%
3	4	4	26.7	23.7
5	5	9	33.3	60.0
6	3	12	20.0	80.0
10	2	14	13.3	93.3
11	1	15	6.7	100.0

Los gráficos que se presentan en este 2do. Caso son:

1. Histograma de frecuencias: En el sistema de coordenadas rectangulares comparamos Xi vs. fi (o hi%).

3ER. CASO: Tabla de frecuencias por intervalos de clase:

En este caso generalmente la variable es continua, también puede ser usado para la variable discreta siendo la muestra grande (generalmente n >= 30).

La tdf tiene la siguiente forma:

*Intervalos (Li - Ls)*	Xi	Fi	Fi	hi	Hi
[X’o - X’1>	X1	f1	F1	h1	H1
[X’1 - X’2>	X2	f2	F2	h2	H2
.	.	.	.	.	.
.	.	.	.	.	.
.	.	.	.	.	.
.	.	.	.	.	.
.	.	.	.	.	.
[X’m-1- X’m]	Xm	Fm	Fm	hm	Hm

Donde:

X i= marca de clase o punto medio de cada intervalo de clase, se obtiene mediante la semisuma de los limites de cada intervalo.

X i = Ls + Li

fi , Fi, hi, Hi ; representan las frecuencias definidas en el caso anterior.

Procedimiento para construir una tdf por intervalos de clase:

1er. Paso:

Calcular el número de intervalos de clase (K):

Para calcular el valor de K, tenemos dos criterios:

a) Criterio personal; de acuerdo a la experiencia del investigador se puede asumir un valor de m para un tamaño de muestra determinado.

b) Mediante la Regla de Sturges:

K =1 +3.3 log. n

2do. Paso:

Calcular la amplitud o tamaño del intervalo de clase:(A)

Para calcular la amplitud del intervalo (A) nos basaremos en la siguiente expresión:

A = Rango de la muestra

donde: Rango de la muestra = Valor Mayor – Valor Menor

Con este procedimiento calculamos una amplitud que será constante para cada intervalo, y lo mismo ocurrirá entre cada marca de clase.

Los intervalos serán de la forma: [Li Ls], pudiendo ser considerado cerrado en el último intervalo.

La amplitud A es preferible que sea redondeada considerando la misma cantidad de decimales que tengan los dato de la muestra.

3er. Paso: Tabulaciones

Tabular y presentar los datos agrupados en la tdf.,

Ejemplos: (2.3)

Los siguientes datos representan el peso (gr.) de 35 sobrecitos de unas sustancias: 68, 73, 61, 46, 49, 96, 68, 90, 97, 53, 75, 93, 72, 60,

71, 75, 74, 75, 71, 77, 83, 68, 85, 76, 88, 59, 78, 62, 55, 48, 43, 47,

60, 84, 80. Agrupar en tdf. Solución:

1) Calculamos K = 1 +3,3 Log 35 = 6.095 = 6

2) Calcula la amplitud del intervalo A:

A 97 43 9

3) Tabular en tdf:

Peso (grs)	Xi	fi	Fi	hi%	Hi%
[43 – 52>	47.5	5	5	14.3	14.3
[52 – 61>	56.5	5	10	14.3	28.6
[61 – 70>	65.5	5	15	14.3	42.9
[70 – 79>	74.5	11	26	31.4	74.3
[79 – 88>	83.5	4	30	11.4	85.7
[88 – 97]	92.5	5	35	14.3	100.0

Se observa por ejemplo que: 11 sobrecitos tienen un peso comprendido en el intervalo [70-79> grs. y representan el 31.4% del total.

También vemos que 15 sobrecitos pesan menos de 70 grs. y representan el 42.9% del total.

SESION # 5

PRIMERA PRACTICA CALIFICADA

SESION # 6

PRESENTACION DE DATOS

LOS GRAFICOS

Los gráficos son representaciones en forma de figuras geométricas, de superficie o volumen con el objeto de ilustrar los cambios o dimensión de una variable, para comparar visualmente dos o más variables similares o relacionadas. Para una rápida comprensión de situaciones o variaciones en cantidades, es muy útil traducir los números en gráficos o imágenes. Por su naturaleza, un gráfico no toma en cuenta los detalles y no tiene la misma precisión que una tabla estadística.

Veamos algunos tipos de Gráficos :

1. Histograma de frecuencias: Representa un conjunto de rectángulos levantados desde cada intervalo de clase hasta la frecuencia correspondiente (absoluta ó relativa).

2. Polígono de frecuencias: Consiste en unir los puntos medios ó marcas de clase levantadas hasta cada frecuencia correspondientes, generalmente para su construcción nos podemos basar del Histograma de frecuencias.

Propiedad: Area del Histograma = Area del Polígono de frecuencia.

3. Ojiva: Se construye basándose en un diagrama escalonado, es decir considerando las frecuencias acumuladas (absoluta ó relativa), y uniendo los límites de cada intervalo.

HISTOGRAMA Y POLIGONO DE FRECUENCIAS

SESION # 7

LOS ESTADIGRAFOS DE TENDENCIA CENTRAL

Se llaman así, porque tienden a ubicar el centro de las observaciones; Estos estadígrafos de posición son: media, mediana, moda, media geométrica, media armónica, etc. Estudiaremos los más importantes:

1. La Media Aritmética

Llamada también promedio, es el estadigrafo de posición más simple y fácil de calcular, por eso es el más común.

Se calcula teniendo en cuenta los siguientes casos:

1er. Caso: Datos no agrupados en tablas de frecuencias:

Sean X1, X2........... , Xn variables que representan los n datos de una

muestra, la media aritmética se calcula:

2do. Caso: Datos Agrupados en tabla de frecuencias:

En este caso se calcula mediante la siguiente fórmula:

fi = frec. Absoluta hi = frec. Relativa

O también:

Xi* hi

X

hi = frec. Relativa

PROPIEDADES DE LA MEDIA ARITMETICA

1. La media de los datos todos iguales a una misma constante es igual a la constante:

Sea K = cte. y cada Xi = k -----------------

X X (K ) K

2. Si a cada dato e le suma o resta una constante k, la media queda sumada o restada por dicha constante:

Si Xi = Xi + K -------------------- X(Y) = X(X+k) = X (X) + k

3. Si a cada dato se le multiplica o divide por una constante k, la media queda multiplicada o dividida por dicha constante.

4. Sí Yi = Xi* k---------------------------- X(Y) = X(X* k) = X (X) * k

NOTA. Todas las propiedades cumplen para datos agrupados y no agrupados

( Xi X ) 0

Datos no agrupados

( Xi

X )* fi 0

Datos agrupados

5. La suma de las desviaciones respecto a la media es igual a cero.

SESION # 8

ESTADIGRAFOS DE TENDENCIA CENTRAL

2. Media Geométrica: se eleva cada valor al número de veces que se ha repetido. Se multiplican todo estos resultados y al producto final se le calcula la raíz "n" (siendo "n" el total de datos de la muestra).

Según el tipo de datos que se analice será más apropiado utilizar la media aritmética o la media geométrica.

La media geométrica se suele utilizar en series de datos como tipos de interés anuales, inflación, etc., donde el valor de cada año tiene un efecto multiplicador sobre el de los años anteriores. En todo caso, la media aritmética es la medida de posición central más utilizada.

Lo más positivo de la media es que en su cálculo se utilizan todos los valores de la serie, por lo que no se pierde ninguna información.

Sin embargo, presenta el problema de que su valor (tanto en el caso de la media aritmética como geométrica) se puede ver muy influido por valores extremos, que se aparten en exceso del resto de la serie. Estos valores anómalos podrían condicionar en gran medida el valor de la media, perdiendo ésta representatividad.

3. La Mediana (Me) :

Es aquel estadígrafo de posición que divide en dos partes iguales al conjunto de observaciones; es decir la mediana representa el valor central de una distribución de datos ordenados en forma creciente o decreciente.

1er. Caso: Datos No agrupados en TDF:

Primero se ordena los datos en forma creciente o decreciente y luego se tiene en cuenta sí:

a) n es impar. La mediana es el valor central.

Es el elemento que ocupa la posición (n+1) /2

Ejemplo: Calcular la Me de los siguientes valores:

32, 34, 31, 42, 36, 41, 32, 45, 37, n=9

Ordenando: 31, 32, 32, 34, 34, 36, 37, 41, 42, 45.

Observamos el valor central:

Me=36 (representa el 5to. dato)

b) n es par.La mediana es igual al promedio o la semisuma de los valores centrales.

Ejemplo: la Me de 12,21,16,18,20,19,16,15,16,17.

Ordenando: 12,15,16,16,16,17,18,19,20,21,

2do. Caso: Datos Agrupados en TD:

En este caso la Se me calcula mediante la siguiente fórmula:

Donde:

Li = limite inferior de la clase mediana.

Ame := tamaño del intervalo de la clase mediana. Fme-1 = Frec. Abs. Acumulada anterior a la clase mediana.

fme = Frecuencia absoluta de la clase mediana.

Clase Mediana: Es aquel intervalo que contiene el valor que ocupa la posición media, es decir contiene a la mediana. Se calcula mediante:

El primer valor Fi mayor o igual que n/2

4. LA MODA (Mo)

Representa al valor que más se repite en un conjunto de observaciones:

- Si la distribución de frecuencias tiene un solo valor máximo, entonces: UNIMODAL.

- Si la distribución presenta más de un valor máximo: , entonces: POLIMODAL.

- Si no hay algún valor que se repita con más frecuencia: DISTRIBUCION UNIFORME

1er. Caso: Datos no agrupadas

Señalar el valor que más se repite.

Ej. 4,5,6,7,4,5,4,6,5,5,4,5,5 Mo = 5 UNIMODAL

Ej. 7,7,6,8,8,6,8,7,7,9,12,11,10,8Mo = 8 BIMODAL

2do. Caso: Datos Agrupados en Tablas de Frecuencias_

Donde:

Li = limite inferior de la clase modal. Amo = Amplitud de la clase modal.

D1 = Diferencia ente la Frec. Absoluta de la clase modal menos la frecuencia absoluta anterior.

D2 = Diferencia ente la Frec. Absoluta de la clase modal menos la siguiente.

Clase Modal: Representa el intervalo con la mayor frecuencia absoluta.

Ejemplos. (3.1)

Calcular la Media Aritmética, Mediana y Moda de la Tabla de frecuencias del ejemplo (2.3).

gramos

Para calcular la mediana, la clase mediana es el 4to. intervalo:

gramos

Para calcular la Moda, la clase modal es el 4to. intervalo, por que presenta la mayor frecuencia absoluta.

D1=11 - 5 = 6

D2=11 – 4 =7

Mo 70

9 * 6

6 7

74.15

Gramos

Nota: La media =mediana = moda, si la distribución es simétrica.

SESION # 9

ESTADIGRAFOS DE TENDENCIA NO CENTRAL

Las medidas de Posición o de Tendencia no centrales permiten conocer otros puntos característicos de la distribución que no son los valores centrales. Entre otros indicadores, se suelen utilizar una serie de valores que dividen la muestra en tramos iguales:

Cuartiles: son 3 valores que distribuyen la serie de datos, ordenada de forma creciente o decreciente, en cuatro tramos iguales, en los que cada uno de ellos concentra el 25% de los resultados.

Deciles: son 9 valores que distribuyen la serie de datos, ordenada de forma creciente o decreciente, en diez tramos iguales, en los que cada uno de ellos concentra el 10% de los resultados.

Percentiles: son 99 valores que distribuyen la serie de datos, ordenada de forma creciente o decreciente, en cien tramos iguales, en los que cada uno de ellos concentra el 1% de los resultados.

Ejemplo: Vamos a calcular los cuartiles de la serie de datos referidos a la estatura de un grupo de alumnos). Los deciles y percentiles se calculan de igual manera,

aunque haría falta distribuciones con mayor número de datos.

Variable	Frecuencias absolutas		Frecuencias relativas
(Valor)	Simple	Acumulada	Simple	Acumulada
X	x	x	x	X
1,20	1	1	3,3%	3,3%
1,21	4	5	13,3%	16,6%
1,22	4	9	13,3%	30,0%
1,23	2	11	6,6%	36,6%
1,24	1	12	3,3%	40,0%
1,25	2	14	6,6%	46,6%
1,26	3	17	10,0%	56,6%
1,27	3	20	10,0%	66,6%
1,28	4	24	13,3%	80,0%
1,29	3	27	10,0%	90,0%
1,30	3	30	10,0%	100,0%

1º cuartil: es el valor 1,22 cm, ya que por debajo suya se situa el 25% de la frecuencia (tal como se puede ver en la columna de la frecuencia relativa acumulada).

2º cuartil: es el valor 1,26 cm, ya que entre este valor y el 1º cuartil se situa otro 25% de la frecuencia.

3º cuartil: es el valor 1,28 cm, ya que entre este valor y el 2º cuartil se sitúa otro 25% de la frecuencia. Además, por encima suya queda el restante 25% de la frecuencia.

Atención: cuando un cuartil recae en un valor que se ha repetido más de una vez (como ocurre en el ejemplo en los tres cuartiles) la medida de posición no central sería realmente una de las repeticiones

Fórmulas para calcular los Cuartiles

Para calcular el Primer Cuartil

Q1 Li

F 2

Para calcular el Segundo Cuartil

Q2 Li

F 2

Para calcular el Tercer Cuartil

DONDE:

Q3 Li

F 2

Q1 = Primer Cuartil Q2 = Segundo Cuartil Q3 = Tercer Cuartil

Li = Límite Real inferior de la Clase que contiene el Cuartil n = Número de datos

F1 = Frec. Acumulada de la clase anterior a la clase del Cuartil F2 = Frecuencia absoluta de la Clase del Cuartil

i = Intervalo de Clase

Ejemplo: Calcular el Primer Cuartil de la siguiente distribución de frecuencias, referente al consumo de energía eléctrica de un grupo de usuarios

Consumo Kw Hora	Número de Consumidor	Frecuencia Acumulada	Límites Reales
05 - 24	4	4	4.5 - 24.5
25 - 44	6	10	24.5 - 44.5
45 - 64	14	24	44.5 - 64.5
65 - 84	22	46	64.5 - 84.5
85 - 104	14	60	84.5 - 104.5
105 - 124	5	65	104.5 - 124.5
125 - 144	7	72	124.5 - 144.5
145 - 164	3	75	144.5 - 164.5
	75

Como cada Cuartil representa el 25%, entonces el Primer Percerntil será el 25%.

Respuesta.- El 25% de los usuarios consume 57 KW Hora.

Fórmula para calcular los Deciles

CURSO: ESTADISTICA I

D = El Decil

Li = Límite Real inferior de la Clase que contiene el Decil D # = El número de Decil que se quiere hallar

n = Número de datos

F1 = Frec. Acumulada de la clase anterior a la clase del Cuartil F2 = Frecuencia absoluta de la Clase del Cuartil

i = Intervalo de Clase

Utilizando el ejemplo: Calcular el Cuarto Decil de la distribución de frecuencias, referente al consumo de energía eléctrica del grupo de usuarios

Como cada Decil representa el 10%, entonces el Cuarto Decil será el 40%..

Respuesta.- El 40% de los usuarios consume 69.95 KW Hora.

Fórmula para calcular los Percentiles

P = El Percentil

Li = Límite Real inferior de la Clase que contiene el Percentil

P # = El número de Percentil que se quiere hallar n = Número de datos

F1 = Frec. Acumulada de la clase anterior a la clase del Percentil F2 = Frecuencia absoluta de la Clase del Percentil

i = Intervalo de Clase

Utilizando el ejemplo: Calcular el Percentil 79 de la distribución de frecuencias, referente al consumo de energía eléctrica del grupo de usuarios

Como cada Percentil representa el 1%, entonces el Percerntil 79 será el 79%..

Respuesta.- El 79% de los usuarios consume 103.43 KW Hora.

SESION # 10

EXAMEN PARCIAL

SESION # 11

ESTADIGRAFOS DE DISPERSION O VARIABILIDAD

Son aquellos números que miden o cuantifican la variabilidad de las observaciones, con respecto a un estadígrafo posición (generalmente la media aritmética). Los principales estadígrafos de dispersión son los siguientes:

1. LA VARIANZA: V (X)

Se define como el promedio del cuadrado de las desviaciones con respecto a la media.

Cuando la varianza es muestral, entonces V(x) se puede denotar como y si la varianza es poblacional, entonces V(x) se denota como .En este capítulo estudiaremos la varianza

muestral.

La varianza se calcula, teniendo en cuenta los siguientes casos:

1er. Caso: Datos no agrupados en tablas de frecuencia:

Desarrollando esta sumatoria, obtenemos una forma más simple para calcular la varianza:

2do. Caso: Datos agrupados en tablas de frecuencias:

O también:

CURSO: ESTADISTICA I

Desarrollando esta sumatoria, obtenemos:

O también:

Donde:
Xi	=	marca de clases.
fi	=	frecuencia absoluta
hi	=	frecuencia relativa

Propiedades de la Varianza:

1. V(X) >= 0 (siempre la varianza es positiva ó

igual a cero).

2,	V(K) = 0	Esto es si cada Xi = k (constante).
3.	V(X+/- K) = V(X)	si a cada Xi se le suma (o resta),
	una constante K	entonces la varianza no varia.

CURSO: ESTADISTICA I

si a cada dato se multiplica (o por una constante K, entonces la

constante sale elevada cuadrado).

~~Siendo a y b constante~~s, X e Y variables independientes

2. DESVIACION STANDART O TIPICA : S(X)

Se define como la raíz cuadrada positiva de la varianza, y como la varianza esta expresada en unidades cuadradas, la desviación standart (que esta expresada en las mismas unidades de los datos), representa mejor la variabilidad de las observaciones.

3. COEFICIENTE DE VARIACION: C.V.

Representa la relación que existe entre la desviación standart y el promedio de un conjunto de observaciones. El C.V. como no tiene unidades se debe expresar en porcentaje y sirve como medios de comparación con otras distribuciones de cualquier tipo de unidad.

Se calcula:

Donde:

S(x) = desviación típica

X = promedio aritmético ó

Ejemplos:

1. Los siguiente datos son temperaturas en grados Fahrenheit

415,500,480,490,476,500,432,479,489,497,496,478,453.

Sin ordenar en tablas de frecuencias:

a) Calcular la varianza.

b) Si a cada dato se le divide entre 5 y luego se suma 10. Hallar la nueva varianza.

Solución:

a) Primero tenemos que calcular el promedio para datos no agrupados:

°F

Entonces, calculamos la varianza:

b) Es decir:

Esto se resuelve usando propiedades:

2. Dada la siguiente tabla de frecuencias, que representa el peso (grs), de 34 sobres de cartas:

Intervalos	Xi	fi	Fi
[ 7 – 8>	7.5	1	1
[ 8 – 9>	8.5	2	3
[ 9 – 10>	9.5	8	11
[10 – 11>	10.5	11	22
[11 – 12>	11.5	6	28
[12 – 13]	12.5	6	34

a) Calcular el peso promedio y la mediana.

b) Calcular el Coeficiente de Variación (C.V.)

Solución:

a) Calculando el promedio:

Gramos

Calculando la mediana:

Gramos

b) Para calcular el C.V. debemos primero calcular la varianza

Calculamos la desviación standart: S(X)=-1.2708 grs. Entonces:

3. Se tiene dos muestras:

En qué muestra cree Ud. Que halla menos variabilidad?

Solución:

Primero hay que tener en cuenta que no se puede comparar las desviaciones standares de cada nuestra, porque están expresadas en diferente unidades, pero si podemos compararlas con sus C.V. respectivos:

Entonces, comprando ambos coeficientes nos damos cuenta que existe menor dispersión en los datos de la primera muestra.

SESION # 12

CAPITULO V: DISTRIBUCION BIDIMENSIONAL

ANALISIS DE REGRESION Y CORRELACION LINEAL SIMPLE

Los métodos estadísticos presentados lo hemos referido hasta Ahora a una sola variable, muchos de los problemas de trabajo estadístico, sin embargo involucran 2 ó más variables. En algunos casos las variables se estudian Simultáneamente, para ver la forma en que se encuentran interrelacionadas, también si se desea estudiar una variable de interés particular. Estos dos casos de problemas se conocen por lo general con los nombres de correlación y regresión.

Antes de definir estos casos hablaremos sobre aspectos importantes que involucran 2 variables: Distribución Bidimensional.

5.1. Cálculo de la Covarianza: S (XY)

La varianza, es la medida que estudia la dispersión de dos variables, se calcula teniendo en cuenta:

1er. Caso: Datos no agrupados en tablas de frecuencia: En este caso, las variables X é Y se toman en forma simultánea; es decir se considera no agrupados porque se toman los valores

como puntos cartesianos (pares de valores). (X1,Y2), (X2,Y2). (Xm,Ym). Esto es:

X	X1	X2	X3	..........	XN
Y	Y1	Y2	Y3	..........	YN

N: número de observaciones ó total de pares de valores.

De cada observación se analiza dos variables Simultáneamente. Las Covarianza; S (XY) se define:

............................. ( I )

desarrollando la sumatoria y simplificando:

Para calcular la covarianza S(XY), es preferible utilizar la ec. (II). Los promedios de X y de Y, así como las desviaciones standares S(X) Y S(Y), se calculan como en los capítulos 3 y 4.

2do. Caso: Datos Agrupados en tablas de frecuencias:

En este caso cada variable X e Y, están agrupados en tablas de frecuencias presentándose lo que se llama: Distribución Bidimensional o Tabla de Doble Entrada.

En forma tabular:

X : agrupado en K intervalos (y = 1... k) Y : agrupado en m intervalos (j = 1.. m).

Donde:

Xi : marca de clase (variable X) Yj : marca de clase (variable Y)

fij : frecuencia absoluta conjunta, corresponde al número de observaciones que existe en el I-ésimo intervalo de X con el j-ésimo intervalo de Y.

Observaciones:

(1) Según la definición de la covarianza (tanto para datos agrupados como no agrupados), la covarianza puede ser negativa.

(2) La covarianza presenta unidades de cada una de las variables involucradas.

(3) La covarianza S(XY), también se denota: Cov (X,Y)

Ejemplos:

(5.1) Dada la siguiente tabla, que representa la medida (X) en cm. De 8 barretas de metal y el peso (Y) en libras de cada una de ellas, calcular:

a) S(X) b) S(Y) c) S(XY)

X	1	3	4	6	8	9	11	14
Y	1	2	4	4	5	7	8	9

Solución:

Este ejemplo, corresponde a datos no agrupados en tabla de frecuencias.

S (X) = 4.06

S² (X)

S (Y) = 2.65

S² (Y)

(5.2) Dada la siguiente tabla en el cual se estudia las alturas (pulg) y los pesos (libras) de 300 estudiantes hombres en una Universidad:

X : altura (pulgadas).

Y : peso (libras).

Y X	58-62	62-66	66-70	70-74	74-78	Total fy
90-110	2	1				3
100-120	7	8	4	2		21
130-140	5	15	22	7	1	50
50-160	2	12	63	19	5	101
170-180		7	28	32	12	79
190-200		2	10	20	7	39
210-220			1	4	2	7
Total Fx	16	45	128	84	27	300

Calcular:

S (X) , S(Y) , S (XY)

Solución:

Como la tabla es Bidimensional, podemos formar tablas de frecuencias para cada una de las variables por separado, a este proceso se le conoce como TABLAS MARGINALES.

Tabla marginal para x::

Intervalos	Xi	Fi
58 – 62	60	16
62 – 66	64	45
66 – 70	68	128
70 – 74	72	84
74 – 78	76	27

300

Tabla Marginal para Yi:

Intervalos	Yj	f.j.
90 – 110	100	3
110 – 130	120	21
130 – 150	140	50
150 – 170	160	101
170 – 190	180	79
190 – 210	200	39
210 – 230	220	7

300

La variable X presenta 5 intervalos ( i = 1..... 5)

La variable Y presenta 7 intervalos ( j = 1..... 7)

Calculando:

S(XY) =51.370 pulg/lib.

Calculando la Covarianza:

SESION # 14

REGRESION LINEAL

5.2. Diagrama de Puntos y Curvas de Ajuste:

Representan los puntos (X1, Y1), (X2, Y2)..... (XN, YN) en un sistema de coordenadas rectangulares, donde al sistema de puntos resultantes lo llamaremos Diagrama de Dispersión o Diagrama de Puntos: Con el diagrama de dispersión es posible representar una curva que se aproxime a los datos: Curva de Aproximación.

Entonces, encontrar ecuaciones de curvas de aproximaciones que se ajusten a los datos, es buscar una: Curva de Ajuste.

Tenemos:

a) Conjunto de puntos que se ajustan a una línea recta (ajuste lineal o relación lineal).

Observamos que el diagrama de puntos gira alrededor de una recta: Y = a+ bX

b) Conjunto de puntos o diagrama de puntos cuya relación no es lineal.

Algunas de las ecuaciones de curvas de aproximación:

Relación lineal

Curva Polinomial

Hipérbola

Entonces, lo que se desea es encontrar una curva de aproximación que se ajuste mejor a los datos, y así mostrar la ecuación de la curva respectiva.

El tipo más sencillo de una curva de aproximación es la línea recta cuya ecuación puede escribirse: Y = a +b*X

5.3 Método de mínimos Cuadrados:

De todas las curvas de aproximación a una serie de datos puntuales, la curva tiene la propiedad de que:

sea mínimo

Se conoce como la mejor curva de ajuste por el método de mínimos cuadrados.

Di= desviación de cada punto con respecto ala línea recta.

Este método consiste en minimizar la suma de los cuadrados de las desviaciones Di.

Entonces para ajustar un diagrama de dispersión a la línea recta, utilizaremos este método de los MINIMOS CUADRADOS. Es decir una recta de aproximación de mínimos cuadrados del conjunto de puntos (x1, y1), (x2,y2),......,(xn,yn), tiene la ecuación: Y = a+b*X , donde a y b se determinan mediante el sistema de ecuaciones normales, son las siguientes:

Donde al desarrollar y despejar a y b se obtienen:

Otras ecuaciones más practicas para calcular los valores de a y b de la ecuación aproximada Y = a +b*X son las siguientes:

Ejemplo:

Sean los valores:

x	3	1	4	6	8	9	11	14
y	2	1	4	4	5	7	8	9

a) Construye el diagrama de puntos

b) Encuentra las ecuaciones normales

c) Encuentra la ecuación de la curva de ajuste.

Solución:

a) Llevando los puntos al sistemas de coordenadas rectangulares.

b) Al observar el diagrama de puntos, notamos que se aproxima o ajusta a una línea recta, cuya ecuación es: Y = a+b*X

Para encontrar las ecuaciones normales:

Entonces las ecuaciones normales son:

40 = 8*a +b* 56

364 = 56*a +b*524

Y = 0.545 + 0.636X

Resolviendo el sistema (Método de Mínimos Cuadrados) a= 6/11 = 0.545 b=7/11=0.636

d) La ecuación resultante será :

nota : Si la ecuación es Y = a +b*X entonces b mide la pendiente de la línea recta.

SESION # 15

SEGUNDA PRACTICA CALIFICADA SESION # 16

5.4 Análisis de correlación lineal simple:

Definición: Estudia el grado de asociación que existe entre las variables en estudio, el coeficiente que mide la mutua asociación se denomina: Coeficiente de Correlación (r).

Las asociaciones que se pueden presentar son:

1) Correlación o asociación Positiva (+), es decir a medidas altas de una variable, le corresponden medidas altas de otra variable, cambios en el mismo sentido (Relación Directamente Proporcional)

X entonces Y

Ejemplo :

altura y peso

2) Correlación o Asociación Negativa (-), En este caso, a valores altos de una variable, corresponden valores bajos de la otra variable y viceversa. (Relación inversamente proporcional).

3) Medidas no Correlaciónales; No existe ninguna asociación entre las variables.

Características de Coeficiente de Correlación Lineal Simple

1) r se calcula mediante la siguiente fórmula:

S (XY) : covarianza de X e Y

S (X) : desviación standart de X S (Y) : desviación standart de Y

2) r es un número abstracto (sin unidades) y oscila entre –1 y 1, es decir:

3) - Si r es positivo (Correlación Positiva), entonces las dos características tienden a variar en el mismo sentido.

- Si r es negativo (Correlación Negativa), las dos características tienden a variar en sentido contrario.

4) Si r=+1 ó r=-1, entonces la asociación es perfecta.

5) Si r = 0, no existe asociación entre las variables:

6) La asociación, tiende a ser más estrecha, cuando r:

Ejemplo:

(5.4) Calcula el coeficiente de correlación, del ejemplo (5.1); donde: S(X) =4.06;

S(Y) =2.65; S(XY)=10.5

Interpretación.- Existe una alta asociación entre las variables estudiadas. (5.5) del ejemplo (5.2), donde: S(X)=3.929 pulgadas S(Y)=24.202

libras, S(XY)=51.370 pulg/lbs

Interpretación.- Existe asociación entre las alturas y pesos de los estudiantes de la Universidad dada, esta asociación es directamente proporcional.

5.4 Análisis de Regresión Lineal Simple:

En las relaciones entre las variables se pueden presentar los siguientes casos:

i) X influye en Y : X Y

X : variable independiente Y : variable dependiente

Ejemplo:

X = f(Y)

Edad agilidad mental

ii) Y influye en X Y X Y: variable independiente

X: Variable dependiente

III) Las dos están influenciadas entre si: X Y

X Y

Ejemplo : precio y producción de un articulo.

Definición: La regresión permite estudiar la dependencia de una característica respecto a la otra, para establecer como varía el promedio de la primera característica al variar la segunda en una unidad de su medida.

Se dice regresión lineal, porque las variaciones de la variable independiente, pueden provocar variaciones proporcionales en las variables dependientes (ajuste a la línea recta).

Se dice que la regresión es simple, si una variable independiente influye sobre otra variable dependiente.

Ejemplo:

Proteína de harina volumen de pan

Ecuación de Regresión Lineal Simple.

Es una ecuación para estimar una variable dependiente a partir de la variable independiente.

Si X : Variable independiente Y : Variable dependiente

Donde : Y = variable dependiente estimada

: b = coeficiente de R.L.S.

Características del Coeficiente de R.L.S. (b)

1) b : indica el número de unidades en que varía la variable dependiente al variar la independiente en una unidad de su medida.

2) Si b es positivo los cambios son directamente proporcionales.

Si b es negativo entonces los cambios son inversamente proporcional

3) b : mide la pendiente de la línea de regresión.

4) b, esta dado en unidades de la variable dependiente.

5) b y r siempre tienen el mismo signo.

6) b se calcula:

Sí Y = f(X), entonces:

Y el valor de la constante a:

Si X= f (Y) (se realiza cambio de X por Y y viceversa)

Línea de Regresión.- consiste en el trazo o gráfica de la ecuación de regresión lineal simple, es decir el gráfico de los puntos

si la ecuación es:

Regresión de Y sobre X; o el gráfico de los puntos (X,Y) si la ecuación es X= a+ bY : Regresión de X sobre Y.

Ejemplo:

selecciona al azar cuatro meses de un año y se registra tanto los ingresos como los gastos, en miles de dólares, de cierta empresa:

Ingreso (miles de dólares)	10	11	12	13
Egresos (miles de dólares)	4	5	9	10

I. Efectuar un estudio de Regresión Lineal Simple, asumiendo que los egresos están en función de los Ingresos:

1) Calculando el coeficiente de Regresión b e interpretándolo

2) Calculando el coeficiente de intersección a

3) Encontrando la ecuación de Regresión Lineal Simple y trazar la línea de Regresión.

II. Realiza un análisis de Correlación Lineal Simple, e interprete el valor de r.

Solución:

I. Como el egreso está en función de los ingresos:

Egresos: variable dependiente: Y

Ingresos: variable independiente: X

1) Calculando b

Primero calculamos:

Entonces:

Interpretación.- Por cada mil dólares adicional en el Ingreso de dicha empresa, habrá un aumento en el Egreso de 2.2 miles de dólares en promedio.

2) Para calcular a :

3) Ecuación de Regresión Lineal Simple:

Como Y es variable dependiente, entonces:

Para el trazo en el sistema de ejes cartesianos se tendrá que reemplazar en la ecuación de Regresión, los diferentes valores de X:

Y=-18.30 +2.2. (10) = 3.7

Y=-18.30 +2.2 (11) = 5.9

Y=-18.30 +2.2 (12) = 8.1

Y=-18.30 +2.2 (13) =10.30

También se puede estimar nuevos valores de los Egresos (Yi) a partir de un valor Xi.

Ejemplo:

Para un ingreso de 15mil dólares, se espera tener en promedio un Egreso de:

Y =-18.30 + (2.2) (15) = 14.7 miles de dólares La línea de Regresión: unión de puntos (Xi,Yi)

II.

SO: ESTADISTICA I

Análisis de Correlación:

Interpretación.- Existe una alta asociación entre los ingresos y los egresos, siendo los cambios directamente proporcionales.

SESION #17

CAPITULO VI: NUMEROS INDICES

Definición.- Un número índice es una medida estadística diseñada para mostrar los cambios en una variable (o en un grupo de variables) con respecto al tiempo, situación geográfica, renta, profesión, etc.

Aplicaciones:

1. Comparar el costo de alimentos en otros costos de vida durante un año o período con respecto al año o período anterior.

2. En negocios y Economía.

Tipos de Indice:

(6.1) Indices Simples: Cambios en un solo bien determinado

1) Indices de Precios Relativos.- uno de los ejemplos más sencillos de número índice es un precio relativo, que representa la razón del precio de un bien determinado en un período con respecto a otro período llamado base.

Indice de Precio Relativo: IPR

Po : precio de un bien en período base Pn : precio de un bien en período dado

Sí Pa: precio de un bien en el período a Pb : precio de un bien en el período b

Ejemplo:

(6.1) Supóngase que los precios de consumo de 1 tarro de leche en junio de 1990 es de 22,000 intis y en junio de 1989 fue de 5,000 intis, tomando 89 como base.

El IPR Simple:

Es decir: en 1990 el precio de leche fue el 440% del que tenía en el año 89, es decir se incrementó en un 340%

Observación: IPR Simple es un bien en un período a (Pa), con respecto al mismo período a (Pa) =1

2) Indices de Cantidades (o volumen) Relativos.- En lugar de comparar precios de un bien, se puede también comparar cantidades de un bien (cantidad de producción, consumo, exportación, etc.) calculemos la cantidad o volumen relativo (suponiendo que las cantidades dentro de cualquier otro período son constantes).

Indice de Cantidad Relativo: IQR

qn : cantidad de un bien en el período n

qo : cantidad de un bien en el período base

3) Valor Relativo.- Si p es precio de un bien durante un período y la cantidad o volumen producido, vendido, etc., durante ese período.

Valor total = p * q

Ejemplo:

Si se han vendido 1000 tarros de leche a $0.75 c/u Valor total = 0.75 * 1000 = $ 750

Si Po Y qo denotan precio y cantidad de un bien durante un período base y pn y qn denotan el precio correspondiente durante un período dado, los valores totales durante estos períodos son Vo y Vn respectivamente y el valor relativo (VR) se define:

(6.2) Indices Compuestos:

En la práctica, no se esta tan interesada en comparaciones de precios, cantidades etc., de bienes individualmente considerados, como en comparaciones de grandes grupos de tales bienes, es decir es preferible considerar un grupo de bienes para medir los cambios respectivos.

Los principales Indices compuestos se calculan teniendo en cuenta los siguientes métodos:

1) Método de Agregación Simple.- Este método de cálculo de un índice de precio (o cantidad), expresa el total de los precios (o cantidades) de bienes en el período dado, como porcentaje del total de los precios (o cantidades de bienes en el período base.

Tenemos:

Indice de Precios de Agregación Simple: IPAS

Donde:

Pn = suma total de precios de bienes empleados en el periodo dado. Po = suma total de precios de bienes empleados en el año base.

Desventaja: No tiene en cuenta la importancia relativa de las cantidades de los diferentes bienes.

2) método de Media de Relativo Simple. En este método existen varias posibilidades dependiendo del procedimiento empleado para promediar los precios relativos (o cantidades relativas), tal como la media aritmética, media geométrica, Mediana, etc.

Tenemos :

Indice de precios de Media de Relativo Simple: IPMRS (Promedio de los precios relativos de cada uno de los bienes empleados):

Donde:

(Pn/Po) = suma de los precios relativos de bienes. N = número total de bienes empleados.

Método de Agregación Ponderada. Para salvar algún inconveniente del método de agregación simple, se da un peso al precio de cada bien mediante un factor adecuado, tomando a menudo una cantidad o volumen del bien determinado durante el periodo dado, o algún periodo típico (que puede ser una media de varios años). Tales pesos indican la importancia de cada bien particular.

Aparecen así, los tres siguientes índices para precios:

(I). Indice de Precios de Laspeyres (o método del año base): IPL

Pondera los precios considerando como factor de ponderación a las cantidades en el periodo base.

Cuando los bienes empleados corresponden a la canasta familiar, el IPL se denomina índice de Precios del Consumidor o Indice del Costo de Vida, y se utiliza para medir el nivel de inflación.

(II) Indice de Precios de Paasche (o método del año dado): IPP

Pondera los precios de cada bien, considerando como factor de ponderación a las cantidades del periodo dado.

(III). Indice Ideal de Fisher

Representa la media geométrica de los índices de Laspeyres y Paasche (promedio de los índices ponderados).

Ejemplo:

(6.3) La tabla muestra los precios y cantidades consumidas de cierto país de distintos productos férreos en los años 79, 86 y 87.

Precios ($/Lbs)
Año	1979	1986	1987
Plata	17.00	26.01	27.52
Cobre	19.36	41.88	29.99
Plomo	15.18	15.81	14.46
Staño	99.32	101.26	96.17
Zinc	12.15	13.49	11.40

Cantidad (Mills de bls)
Año	1979	1986	1987
Plata	1357	3707	3698
Cobre	2144	2734	2478
Plomo	1916	2420	2276
Staño	161	202	186
Zinc	1872	2018	1424

a) Calcular Indice de Precios de Agregación Simple para el año 86, considerando como año base 1979

b) Calcular el IPL para el año 87, con base en el año 79

c) Calcular el IPP para el año 87, con año 86

Solución

Esto significa, que los precios del conjunto de productos férreos, en el año 86, representa el 121.7% de los precios que tenían en el año 79, es decir se incrementaron en 21%.

Nota:

Las fórmulas descritas anteriormente para obtener números índice de precios se modifican fácilmente para obtener números índices de cantidad o volumen, con el simple intercambio de p y q.

Ejemplo : Indice de cantidad de Agregación Simple: IQAS

(6.4) Deflación

Aunque los ingresos de las personas pueden elevarse teóricamente en un período de dos años, su ingreso real puede netamente ser inferior, debido al incremento del costo de vida y por consiguiente su poder de adquisición.

Ejemplo (5.3)

Si el ingreso de una persona en 1990 es el 150% de su ingreso en 1989 (es decir a aumentado en 50%) mientras que el ICV es el 500% del año 89, el salario real de la persona será en 1990

El salario real de la persona en 1990 es el 30% del que tenía en 1989, es decir el poder adquisitivo de esta persona ha disminuido en 70%.

ANEXOS PROBLEMAS RESUELTOS

a) tablas de frecuencia y Estadigrafos de posición:

*Gramos*	[10 14.5>	[14.5 19.5>	[19.5 24.5>	[24.5 29.5>
hi	M/2	0.17	2M	M

La siguiente distribución muestra el peso en gramos de 30 paquetes de un determinado producto:

Se pide completar la tabla:

Solución

Si la sumatoria de las hi = 1

Sabemos que : M/2 + 0.17 +2M +M +0.13 = 1

M/2 +3M = 1-0.30 M/2 +3M = 0.7

7M = 1.4

M = 0.2

sabemos que

fi = hi * n

Por lo tanto

Remplazando valores de hi


hi	hi
M/2	0.10
0.17	0.17
2M	0.40
M	0.20
0.13	0.13

Completando el cuadro:

Intervalos	Xi	fi	Fi	hi	Hi
[10.5 14.5>	12.25	3	3	0.10	0.10
[14.5 19.5>	17	5	5	0.17	0.17
[19.5 24.5>	22	12	12	0.40	0.67
[24.5 29.5>	27	6	6	0.20	0.87
[29.5 35>	32.25	4	4	0.13	1.00

30 1.00

2)Los siguientes datos son los puntajes obtenidos por 50 estudiantes en un examen de Estadística I:

33,	35,	35,	39,	41,	41,	42,	45,	47,	48,
50,	52,	53,	54,	55,	55,	57,	59,	60,	60,
61,	64,	65,	65,	65,	66,	66,	66,	67,	68,
69,	71,	73,	73,	74,	74,	76,	77,	77,	78,
80,	81,	84,	85,	85,	88,	89,	91,	94,	97.

Clasificar estos datos convenientemente en intervalos de clase de igual amplitud y construir los gráficos respectivos.

Solución

I) Rango = 97-33 = 64

II) K = 1+3.32 * log (10) = 1+ 3.22 (1.699) = 6.47

CURSO: ESTADISTICA I CICLO III

Redondeando al entero inmediato superior K = 7 (siete intervalos)

III) La amplitud de Clase A = 64 / 7 = 9.14, aproximando al entero mayor (recuerda que la amplitud debe tener la característica de los datos)

A = 10

Para facilitar el conteo de las frecuencias, tomaremos como límite inferior de la primera clase 30.

*clases*	xi	fi	Fi	hI	HI
[30, 40>	35	4	4	0.08	0.08
[40, 50>	45	6	10	0.12	0.20
[50, 60>	55	8	18	0.16	0.36
[60, 70 >	65	13	31	0.26	0.62
[70, 80>	75	9	40	0.18	0.80
[80, 90>	85	7	47	0.14	0.94
[90, 100>	95	3	50	0.06	1.00
TOTAL		50		1.00

Nótese que en el ultimo intervalo el límite superior puede ser abierto ya que sobrepasa al valor más alto de los datos.

GRAFICOS

2) El supervisor de una planta de producción desea comprobar si los pesos netos de las latas de conserva de durazno tienen el peso reglamentario (18 onzas) para lo cual registra el peso de 36 latas obteniendo los siguientes datos:

17.0, 17.5, 18.5, 18.1, 17.5, 18.0, 17.5, 17.3, 18.0, 18.0, 18.0,

17.6, 18.2, 17.6, 18.4, 17.7, 17.7, 17.9, 18.3, 17.1, 17.8, 17.3,

18.1, 17.6, 17.7, 18.2, 18.4, 18.0, 18.2, 17.1, 18.6, 18.1, 18.5,

18.4, 17.9, 18.2.

Se pide :

a) Presentar los datos en una tabla de frecuencia.

b) Determine el peso promedio.

c) Determine el peso central (la mediana).

d) Determine el peso Modal.

Solución

i) Rango = 18.6 – 17.0 =1.6

ii) K = 1+ 3.32 * log (36) = 6.17 redondeamos a 6 intervalos

iii) A = 1.6 / 6 = 0.266 lo aproximamos a 0.3 (recuerden siempre se redondea A hacia el mayor respetando la característica de los datos, en este caso con un digito decimal). A = 0.3

a) La tabla queda:

Clase mediana

onzas

c) Para la mediana buscar en Fi aquel que sea igual o mayor que n/2, es decir

Fi>= 36/2 =18.

Onzas

d) Para calcular la moda usamos el intervalo de mayor fi

PROBLEMAS PROPUESTOS:

1) La siguiente tabla muestra las frecuencias relativas de 200 alumnos.

EDADES	16	19	22	25	28	31
Hi%	10	15	37	75	85	100

a) Muestra los límites de cada intervalo de clase.

b) Que tanto por ciento de los estudiantes tienen edades entre 12 y 26 años.

2) Los siguientes datos son las velocidades en Km./h. De 30 carros que pasaron por un punto de control de velocidades.

60, 30, 38, 60, 45, 20, 35, 20, 40, 54, 38, 35, 40, 10, 45, 60, 49,

49, 30, 55, 46, 105, 29, 38, 80, 40, 28, 15, 82, 72.

a) Calcular la media de los datos sin clasificar.

b) Agrupa estos datos convenientemente.

c) Calcule la media, mediana y moda.

3)Un grupo de 50 empleados de sistemas de una gran compañía recibe un curso intensivo de Programación de Ordenadores. De los varios ejercicios distribuidos durante el curso, se muestra el número de ejercicios completados satisfactoriamente por los miembros del grupo: 13, 9, 8, 14, 16, 15, 6, 15, 11, 5, 3, 11, 11, 9, 18, 18,

5, 1,15, 12, 16, 12, 14, 9, 6, 10, 5, 12, 17, 11, 12, 13,

8, 19, 12, 11, 18, 15, 13, 9, 10, 9, 10, 7, 21, 16, 12, 9,

2, 13.

a) Agrupar estas cifras en una tabla de distribución de frecuencias, usando el método de Sturges.

b) Calcula la media, mediana y moda.

c) Estima la desviación típica para datos no agrupados.

4) Sean los siguientes datos: f1=3, F2=8, F3=18, f5=2, x4=3, K=6, H4=0.875, A=2, n=24. Completa la tabla de distribución de frecuencias y calcular la Varianza.

y dada la siguiente tdf:

*intervalos*	*hi%*
[0.5 2.5>	2%
[2.5 4.5>	10%
[4.5 6.5>	h3%
[6.5 8.5>	16%
[8.5 10.5>	h5%
[10.5 12.5>	10%
[12.5 14.5>	2%

a) Calcula h3% y h5%

b) Calcula la Varianza.

7) Se tiene una distribución simétrica de frecuencias con 7 intervalos de igual amplitud A =20 y considerando los siguientes datos:

X3*f3 = 1260, f2 + f5 = 62, H6% = 96%, f1 = 8, h3% = 21%.

a) Calcula la media, mediana y moda

b) Calcula el C.V.

8) Se conocen los siguientes datos del peso de un grupo de estudiantes:

Intervalos	fi	Hi
[20 30>
[30 40>
[40 50>
[50 60>	5	0.96
[60 70>

= 50

si se sabe que: h1=h3 y h2=h4

Determina:

a) La media, mediana y desviación típica.

b) Presenta los datos en un Histograma y polígono de frecuencias.

9) Sabiendo que la tabla de frecuencias, es simétrica, completarla con los datos, dados, si además se sabe que la mediana es igual a 27.5. Luego calcula la media, la moda y la desviación estándar.

Intervalo	Xi	fi	Fi	hi	Hi
L0 L1
L1 L2
L2 L3				0.20
L3 L4					0.65
L4 L5
L5 50					0.95
50 L7

= 60

10) Una fabrica tiene dos departamentos uno de producción y otro de ventas. Las siguientes tablas de frecuencias presentan los haberes percibidos hasta fines de abril en cada uno de los departamentos.

Haberes semanales en dólares	N°de trabajadores dpto. de producción
[10 15>	15
[15 20>	25
[20 25>	30
[25 30>	20
[30 35>	5
[35 40	5
[40 45	0
Total	100

*Haberes mensuales en dólares*	*N° de trabajadores Dpto. de Ventas*
[20 60>	0
[60 80>	5
[80 100>	5
[100 120>	15
[120 140>	20
[140 160>	5
total	50

Calcule:

a) El haber promedio mensual y la desviación típica correspondiente a cada departamento.

b) El haber promedio mensual y la desviación típica del conjunto de trabajadores de ambos departamentos.

11) Se ha recibido una muestra compuesta de 100 probetas de concreto con el objetivo de analizarlas. Una de las pruebas consistió en determinar la carga de rotura de dichas probetas, encontrándose los siguientes resultados:

Intervalo de rotura	N° de probetas
[120 125>	10
[125 130>	20
[130 135>	38
[135 140>	25
[140 145>	7

Determine :

a) La carga media de rotura.

b) La carga mediana de rotura.

Regresión lineal

1) La tabla muestra alturas con aproximación de pulgadas y los pesos con aproximación de libras de una muestra seleccionada al azar:

altura	70	63	72	60	66	70	74	65	62	67	65	68
peso	155	150	180	135	156	168	178	160	132	145	139	152

a) Hallar la ecuación de la recta de ajuste usando mínimos cuadrados.

b) Estimar el peso de un estudiante cuya altura es de 61 pulgadas.

c) Estimar la altura de un estudiante cuyo peso es de 170 libras.

Solución:

X	Y		**XY***
70	155	4900	10850
63	150	3969	9450
72	180	5184	12960
60	135	3600	8100
66	156	4356	10296
70	168	4900	11760
74	178	5476	13172
65	160	4225	10400
62	132	3844	8184
67	145	4489	9715
65	139	4225	9035
68	152	4624	10336
*X = 802*	*Y=1850*	*= 53792*	**XY =* 124258**

Calculando a y b:

a = -60.75

b = 3.22

b)Y = -60.75 + 3.22(61) = 135.67 libras. Redondeando Y =136 libras.

c) 170 = -60.75 + 3.22 X

Pulgadas, redondeando X = 72 pulgadas

2) La producción de acero en Estados Unidos en millones de toneladas cortas (una tonelada corta = 2000 libras), durante los años 1946 – 1956 aparecen en la siguiente tabla:

*Años*	*Producción en Ton. cortas*
1946	66.6
1947	84.9
1948	88.6
1949	78.0
1950	96.8
1951	105.2
1952	93.2
1953	111.6
1954	88.3
1955	117.0
1956	115.2

a) Halla la ecuación de ajuste (recta de mínimos cuadrados).

b) Estima la producción de acero durante los años 1957 y 1958.

c) Estima la producción de acero durante los años 1945 y 1944.

Solución:

Para poder trabajar con los años se debe colocar una escala paralela que inicie en cero (pues las fechas no sirven para estos cálculos).

*Años*	X	Y		**X Y***
*Años*	X	Y		**X Y***
*1946*	0	66.6	0	0
*1947*	1	84.9	1	84.9
*1948*	2	88.6	4	177.2
*1949*	3	78.0	9	234.0
*1950*	4	96.8	16	387.2
*1951*	5	105.2	25	526.0
*1952*	6	93.2	36	559.2
*1953*	7	111.6	49	781.2
*1954*	8	88.3	64	706.4
*1955*	9	117.0	81	1053
*1956*	10	115.2	100	1152
*TOTALES*	55	*1045.4*	*385*	*5661.1*

a) Hallando la recta de ajuste

a = 75.30

b = 3.95

b y c) Estimando la producción:

*Años*	X	*Producción*
*1944*	-2	67.40
*1945*	-1	71.35
*1957*	11	118.75
*1958*	12	122.70

PROBLEMAS PROPUESTOS

1) Construir una línea recta que aproxime los datos de la tabla:

X	2	3	5	7	9	10
Y	1	3	7	11	15	17

estimar los valores de

y para: x= 11, x= 15,

x=4, x= 6

b) estimar los valores de

x para:

y= 2, y=5,

2) La producción de acero en Estados Unidos en millones de toneladas cortas(1 tonelada corta = 2000 libras) durante los años 1986 – 1996 aparece en la tabla:

a) Realiza el diagrama de

dispersión.

*Año*	*Producción de acero en* *EE.UU.(millones de toneladas cortas)*
1986	66.6
1987	84.9
1988	88.6
1989	78.0
1990	96.2
1991	105.2
1992	93.2
1993	111.6
1994	88.3
1995	117.0
1996	115.2

Determina la ecuación de la recta de ajuste.

c) Estima la producción de acero durante los años: 1997 y 1998.

d) Estima la producción de acero durante los años: 1985 y1984

e) Halla r e interpreta.

3) Se desea encontrar una ecuación que estime los ingresos anuales en función de los salarios mensuales,con este fin se ha recopilado los salarios mensuales e ingresos anuales de 8 trabajadores de una empresa.

*Salarios mensuales*	100	150	200	275	300	325	350	375
*Ingresos anuales*	1200	1800	2400	3300	3600	3900	4200	4500

a) Crea el diagrama de dispersión respectivo.

CURSO: ESTADISTICA I CICLO III

Determina la recta de mínimos cuadrados.

c) Estima los salarios mensuales para aquellos trabajadores cuyo ingreso anual es de 5700.

d) Calcula el coeficiente de Correlación (interpretar).

4) La producción de cigarrillos en Perú durante los años 1985 –1992 fue:

Año	1985	1986	1987	1988	1989	1990	1991	1992
*N°cigarrillos (millones)*	98.2	92.3	80.0	89.1	83.5	68.9	69.2	7.1

a) Representa el diagrama de dispersión con recta de aproximación.

b) Halla la ecuación de mínimos cuadrados.

c) Determina e interpretar el coeficiente de Correlación

d) Estima la producción de cigarrillos para los años 1995 y 1998.

Números índices

Problemas propuestos:

1) La siguiente tabla muestra los precio y cantidades de alguno cereales en los años 1989 y 1998.

1989

producto	Precio	Cantidad
Cebada	1.39	237
Maíz	1.24	3238
Avena	0.72	1220
Arroz	0.086	4077
Centeno	1.42	18.1
Trigo	2.24	1098

1998

producto	Precio	Cantidad
Cebada	1.24	470
Maíz	1.15	3800
Avena	0.65	1422
Arroz	0.097	4702
Centeno	1.27	32.5
Trigo	2.23	1462

A) Tomando como base a 1989 hallar el índice de Laspeyres,

El índice de Paashe, el índice ideal de Fisher. Para el año 1998.

B) Tomando como base a 1989 hallar el índice de Laspeyres,

El índice de Paashe, el índice ideal de Fisher. Para el año 1989.

C) Determine el índice de agregación simple para los años 1989 y 1998.

2) La tabla muestra los precios al por menor y producciones medias de antracita y gasolina en EE.UU. durante los años 1949 y 1958.

precios

producto

1949

1958

antracita

$20.13 por tonelada corta

28.20 por tonelada corta

gasolina

20.3 cent. Por tonelada

corta.

21.4 cent. Por tonelada

corta

cantidades

producto

1949

1958

antracita

3559 millones de toneladas cortas

1821 millones de toneladas cortas

gasolina

80.2 millones de barriles *

118.6 millones de barriles

Cada barril contiene 42 galones.

a) Determina el índice de agregación simple para 1958 con base en 1949.

b) Determina el índice de agregación simple para 1949 con base en 1958.

c) Halla el índice de Laspeyres, Paashe, Fisher para el año 1958 con respecto a 1949. Interpretar.

INSTITUTO SUPERIOR TECNOLÓGICO NORBERT WIENER