Manual de programación en PseInt

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El Ars magna de Cardano: la fórmula general de la ecuación cúbica

 

https://historiamatecuaciones.files.wordpress.com/2012/07/cardano.pdf

El Ars magna de Cardano: la fórmula general Hasta el siglo XV, los desarrollos sobre álgebra consistían en grandes cantidades de ejemplos de ecuaciones y sistemas de ecuaciones, para las que se encontraban soluciones particulares con métodos y reglas particulares. Un desarrollo más moderno del álgebra se inicia en el Renacimiento Italiano, hacia el año 1545, con la publicación del Ars Magna de Girolamo Cardano (1501-1576) en el cual se muestran las soluciones para la ecuación cúbica y cuártica, desarrolladas por Scipione del Ferro (1465-1526), Nicolo Fontana Tartaglia (1500-1557), Ludovico Ferrari (1522-1565) y él mismo; probablemente ésta fue la mayor contribución al álgebra, desde que los babilonios aprendieron a completar el cuadrado para solucionar ecuaciones cuadráticas, debido a la motivación que generó para el estudio de la solución de ecuaciones polinómicas de grado mayor. Hacia finales del siglo XV, Scipione Del Ferro (1465–1526) encontró la solución a la ecuación cúbica x 3 + px = q empleando la fórmula: 3 2 3 3 2 3 2 2 3 2 2 3 ¸ ¹ · ¨ © § ¸  ¹ · ¨ © § ¸    ¹ · ¨ © § ¸  ¹ · ¨ © §  q q p q q p x La fórmula de Del Ferro es la que actualmente se usa, sin embargo, aún no se conoce cómo la obtuvo. 5.1.3.4.1. La solución de Tartaglia Tartaglia, hacia 1541 resolvió y clasificó en tres diferentes tipos a las ecuaciones cúbicas, a saber: x 3 + px = q x 3 = px + q x 3 + q = px Cuando Tartaglia comunico a Cardano y Ferrari el método operativo para solucionar ecuaciones de tercer grado sin término de segundo grado, lo hizo por medio de versos, en los primeros de ellos se indica cómo resolver la primera de las anteriores ecuaciones, veamos122:

Historia Cardano: La resolución de la ecuación cúbica

 

https://elpais.com/elpais/2017/02/01/el_aleph/1485946402_896363.html

La resolución de la cúbica: una historia llena de historias

Hoy hablamos sobre la historia que rodeó al descubrimiento del método para resolver ecuaciones cúbicas

MIGUEL ÁNGEL MORALES

01 FEB 2017 - 06:23 COT

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Unos de los temas relacionados con matemáticas que se tratan durante nuestra vida académica es el de la resolución de ecuaciones. Aprendemos a resolver muchos tipos (exponenciales, logarítmicas, racionales, trigonométricas…), pero analizando los métodos de resolución podemos concluir que muchas de ellas se reducen a resolver una ecuación polinómica. Por tanto, los métodos de resolución de estas ecuaciones polinómicas tienen una gran importancia dentro de esta parte de nuestra formación matemática.

Para resolver estas ecuaciones polinómicas, lo primero que se tiene en cuenta es el grado de dicha ecuación. Las ecuaciones de grado 1 son sencillas de resolver (operar, separar términos y despejar), y para las de grado 2 tenemos una fórmula que prácticamente todos los que hemos pasado por el instituto solemos recordar: menos b más menos raíz cuadrada de… ¿Os acordáis? Es ésta:

¿Qué ocurre con las de grado 3 y superior? Pues aquí la cosa se vuelve algo difusa: algunas se resuelven mediante factorización, también podemos buscar soluciones con Ruffini (muy mítica la regla de Ruffini), en algunos casos podemos ayudarnos de cambios de variable convenientes (como en las bicuadradas y similares)… Pero el caso es que cuando el grado es mayor o igual que 3 nadie nos da una fórmula tipo la que tenemos para grado 2 que nos dé las soluciones (si existen) en todos los casos.

¿Existen dichas fórmulas para grados superiores a dos? Pues sí…para grado 3 y grado 4. Y hoy vamos a hablar de la historia que rodea a la fórmula de resolución de la de grado 3: hoy hablamos sobre la resolución de la cúbica.

Nuestra historia se sitúa en el siglo XVI y tiene como protagonistas principales a Niccolo Fontana (apodado Tartaglia por ser tartamudo), Girolamo Cardano, Scipione del Ferro y Ludovico Ferrari y como actores secundarios a Antonio Maria del Fiore y Annibale della Nave. Sobre la década de los 30 de este siglo, llega a oídos de Tartaglia que un tal del Fiore posee un método para resolver ecuaciones cúbicas. En una época como aquella, en la que el interés por el álgebra estaba creciendo de manera significativa entre los matemáticos en Europa, poseer un método para resolver estas ecuaciones resultaba valiosísimo. Por ello, espoleado por la posibilidad de que dicho método pudiera existir, Tartaglia se puso a trabajar en el tema, encontrando tal método por sí mismo (al menos eso parece) un tiempo después.

En aquella época, era habitual organizar desafíos entre matemáticos en los que cada uno proponía problemas que el otro tenía que resolver. Pues a raíz del trabajo de Tartaglia, se organizó uno que lo enfrentaba a del Fiore, resultando Tartaglia ganador de manera aplastante (resolvió todos los problemas propuestos por del Fiore, mientras que este no fue capaz de resolver ninguno de los que le tocaron).

Cuando Cardano tuvo conocimiento de esta aplastante victoria de Tartaglia, intenta convencerlo para que le revele el método que había descubierto y así poder publicarlo en su obra Ars Magna, que estaba preparando en aquellos años. Aunque Tartaglia se niega en primera instancia, al final le revela su descubrimiento con la condición de que no lo publique (aunque, al parecer, Cardano estaba dispuesto a otorgarle a Tartaglia en su obra la autoría del descubrimiento).

Lo que Tartaglia había descubierto eran métodos para resolver las ecuaciones cúbicas que no tienen término de grado dos. Aunque en la actualidad todas ellas se reducen a una única forma, en aquella época se expresaban de estas tres maneras, x3+px=q, x3=px+q y x3+q=px, y cada una tenía su propio método de resolución (los números negativos todavía no se aceptaban con demasiada naturalidad). A partir de estos métodos, Cardano y su ayudante Ludovico Ferrari consiguen un método para resolver la cúbica general x3+mx2+nx=r. Esta ecuación puede reducirse fácilmente a una del tipo x3+px=q, por lo que solamente haría falta resolver ésta. Sus soluciones vienen dadas por la siguiente expresión:

Aunque parece que solamente tenemos un valor, en realidad esta expresión representa los tres valores de las tres soluciones de la cúbica general. Sin entrar en demasiados detalles, lo más interesante de ellos, y tremendamente novedoso en aquella época, es que en ocasiones dos de las soluciones contenían raíces cuadradas de números negativos, dando lugar a lo que hoy conocemos como números complejos.

Y aquí viene la clave de la historia: del Fiore conocía el método de resolución porque Scipione del Ferro, profesor suyo, se lo había comunicado años antes. Es decir, del Ferro fue el primero (que se sepa) que creó un método de resolución para una cúbica. En 1542, Cardano y Ferrari viajan a Bolonia en busca de los trabajos de del Ferro, y es Della Nave (yerno de del Ferro) quien se los proporciona.

Al verlos, Cardano comprueba que el método de del Ferro para resolver la cúbica x3+px=q era el mismo que el de Tartaglia, por lo que entiende que la promesa que le había hecho este de no publicar su descubrimiento ya no tiene validez. Cardano publica el método de del Ferro en Ars Magna en 1545, y Tartaglia entra en cólera. Aunque Cardano lo nombra varias veces en su obra, Tartaglia se siente traicionado…

…y responde publicando un año después un libro con su método y con ataques a Cardano. Este no responde a dichos ataques, pero sí lo hace Ferrari. Este enfrentamiento acaba con un nuevo “duelo matemático” entre Tartaglia y Ferrari que se convierte en un auténtico fenómeno social. Durante el duelo se produce una discusión por uno de los problemas, lo que lleva a aplazarlo al día siguiente. Pero Tartaglia, al parecer por el apoyo de la multitud a Ferrari, no se presenta, por lo que Ludovico es declarado ganador.

Y podemos decir que, básicamente, aquí acaba todo. Como todas las historias, esta todavía plantea algunos interrogantes que, posiblemente, nunca podamos resolver. Por ejemplo, poseer un método de resolución de la cúbica proporcionaba mucha ventaja en los duelos entre matemáticos, en los que en ocasiones se podían conseguir jugosas recompensas. Se entiende que del Ferro le comunicara a della Nave su descubrimiento (era su yerno), pero lo que no se sabe es por qué también se lo comunicó a del Fiore. Y otra pregunta sin respuesta es si Tartaglia de verdad desarrolló él mismo su método o “se inspiró” en trabajos anteriores, atribuyéndose después la autoría. Como decía, es posible que nunca tengamos respuesta a estas y otras preguntas.

Para terminar, es interesante comentar que en Ars Magna también se publicó un método para resolver las ecuaciones de grado cuatro. Dicho método, desarrollado por Ferrari, consiste en reducir (de una manera muy inteligente) la ecuación de grado cuatro a una cúbica, y después resolver dicha cúbica. Con ello cerramos también el círculo con las ecuaciones de grado cuatro.

¿Qué ocurre con las de grado 5 y superior? Pues que no hay fórmula general para resolverlas. Todo lo relacionado con este descubrimiento es también muy interesante y merece la pena contarlo, pero eso será ya otro día.

Historia de Las funciones trigonométricas, los nombres sin cos tan sec cosec, Funciones hiperbólicas, y de la trigonometria

Historia de Las funciones trigonométricas, los nombres sin cos tan sec cosec, Funciones hiperbólicas, y de la trigonometria

https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Trigonometric_functions/

The trigonometric functions

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The use of trigonometric functions arises from the early connection between mathematics and astronomy. Early work with spherical triangles was as important as plane triangles.

The first work on trigonometric functions related to chords of a circle. Given a circle of fixed radius, 60 units were often used in early calculations, then the problem was to find the length of the chord subtended by a given angle. For a circle of unit radius the length of the chord subtended by the angle $x$ was $2\sin (x/2).$ The first known table of chords was produced by the Greek mathematician Hipparchus in about 140 BC. Although these tables have not survived, it is claimed that twelve books of tables of chords were written by Hipparchus. This makes Hipparchus the founder of trigonometry.

The next Greek mathematician to produce a table of chords was Menelaus in about 100 AD. Menelaus worked in Rome producing six books of tables of chords which have been lost but his work on spherics has survived and is the earliest known work on spherical trigonometry. Menelaus proved a property of plane triangles and the corresponding spherical triangle property known the regula sex quantitatum Ⓣ.



Ptolemy was the next author of a book of chords, showing the same Babylonian influence as Hipparchus, dividing the circle into 360° and the diameter into 120 parts. The suggestion here is that he was following earlier practice when the approximation 3 for π was used. Ptolemy, together with the earlier writers, used a form of the relation $\sin^{2} x + \cos^{2} x = 1$, although of course they did not actually use sines and cosines but chords.

Similarly, in terms of chords rather than sin and cos, Ptolemy knew the formulas

$\sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$

$\Large\frac {a}{\sin A}\normalsize = \Large\frac {b}{\sin B}\normalsize = \Large\frac {c}{\sin C}$.

Ptolemy calculated chords by first inscribing regular polygons of 3, 4, 5, 6 and 10 sides in a circle. This allowed him to calculate the chord subtended by angles of 36°, 72°, 60°, 90° and 120°. He then found a method of finding the cord subtended by half the arc of a known chord and this, together with interpolation allowed him to calculate chords with a good degree of accuracy. Using these methods Ptolemy found that sin 30' (30' = half of 1°) which is the chord of 1° was, as a number to base 60, 0 31' 25". Converted to decimals this is 0.0087268 which is correct to 6 decimal places, the answer to 7 decimal places being 0.0087265.

The first actual appearance of the sine of an angle appears in the work of the Hindus. Aryabhata, in about 500, gave tables of half chords which now really are sine tables and used jya for our sin. This same table was reproduced in the work of Brahmagupta (in 628) and detailed method for constructing a table of sines for any angle were give by Bhaskara in 1150.

The Arabs worked with sines and cosines and by 980 Abu'l-Wafa knew that

$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$

although it could have easily have been deduced from Ptolemy's formula $\sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$ with $x = y$.

The Hindu word jya for the sine was adopted by the Arabs who called the sine jiba, a meaningless word with the same sound as jya. Now jiba became jaib in later Arab writings and this word does have a meaning, namely a 'fold'. When European authors translated the Arabic mathematical works into Latin they translated jaib into the word sinus meaning fold in Latin. In particular Fibonacci's use of the term sinus rectus arcus soon encouraged the universal use of sine.

Chapters of Copernicus's book giving all the trigonometry relevant to astronomy was published in 1542 by Rheticus. Rheticus also produced substantial tables of sines and cosines which were published after his death. In 1533 Regiomontanus's work De triangulis omnimodis Ⓣ was published. This contained work on planar and spherical trigonometry originally done much earlier in about 1464. The book is particularly strong on the sine and its inverse.

The term sine certainly was not accepted straight away as the standard notation by all authors. In times when mathematical notation was in itself a new idea many used their own notation. Edmund Gunter was the first to use the abbreviation sin in 1624 in a drawing. The first use of sin in a book was in 1634 by the French mathematician Hérigone while Cavalieri used Si and Oughtred S.

It is perhaps surprising that the second most important trigonometrical function during the period we have discussed was the versed sine, a function now hardly used at all. The versine is related to the sine by the formula

versin $x = 1 - \cos x$.

It is just the sine turned (versed) through 90°.

The cosine follows a similar course of development in notation as the sine. Viète used the term sinus residuae for the cosine, Gunter (1620) suggested co-sinus. The notation Si.2 was used by Cavalieri, s co arc by Oughtred and S by Wallis.

Viète knew formulas for $\sin nx$ in terms of $\sin x$ and $\cos x$. He gave explicitly the formulas (due to Pitiscus)

$\sin 3x = 3 \cos ^{2}x \sin x - \sin ^{3} x$

$\cos 3x = \cos ^{3}x - 3 \sin ^{2}x \cos x$.

The tangent and cotangent came via a different route from the chord approach of the sine. These developed together and were not at first associated with angles. They became important for calculating heights from the length of the shadow that the object cast. The length of shadows was also of importance in the sundial. Thales used the lengths of shadows to calculate the heights of pyramids.

The first known tables of shadows were produced by the Arabs around 860 and used two measures translated into Latin as umbra recta and umbra versa. Viète used the terms amsinus and prosinus. The name tangent was first used by Thomas Fincke in 1583. The term cotangens was first used by Edmund Gunter in 1620.

Abbreviations for the tan and cot followed a similar development to those of the sin and cos. Cavalieri used Ta and Ta.2, Oughtred used $t$ arc and $t$ co arc while Wallis used $T$ and $t$. The common abbreviation used today is tan by we write tan whereas the first occurrence of this abbreviation was used by Albert Girard in 1626, but tan was written over the angle

tan
 A

cot was first used by Jonas Moore in 1674.

The secant and cosecant were not used by the early astronomers or surveyors. These came into their own when navigators around the 15th Century started to prepare tables. Copernicus knew of the secant which he called the hypotenusa. Viète knew the results

$\Large\frac {\cosec x}{\sec x}\normalsize = \cot x = \Large\frac {1} {\tan x}$

$\Large\frac {1}{\cosec x}\normalsize = \Large\frac {\cos x}{\cot x}\normalsize = \sin x$.

The abbreviations used by various authors were similar to the trigonometric functions already discussed. Cavalieri used Se and Se.2, Oughtred used se arc and sec co arc while Wallis used $s$ and σ. Albert Girard used sec, written above the angle as he did for the tan.

The term 'trigonometry' first appears as the title of a book Trigonometria by B Pitiscus, published in 1595. Pitiscus also discovered the formulas for $\sin 2x, \sin 3x, \cos 2x, \cos 3x$.

The 18th Century saw trigonometric functions of a complex variable being studied. Johann Bernoulli found the relation between $\sin^{-1}z$ and $\log z$ in 1702 while Cotes, in a work published in 1722 after his death, showed that

$ix = \log(\cos x + i \sin x )$.

De Moivre published his famous theorem

$(\cos x + i \sin x )^{n} = \cos nx + i \sin nx$

in 1722 while Euler, in 1748, gave the formula (equivalent to that of Cotes)

$exp(ix) = \cos x + i \sin x$.

The hyperbolic trigonometric functions were introduced by Lambert.

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References (show)

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Additional Resources (show)

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Written by J J O'Connor and E F Robertson
Last Update June 1996