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La práctica de los razonamientos deductivos en el
proceso de desarrollo del pensamiento lógico matemático es muy
importante. Constituye una herramienta fundamental para el trabajo en la
matemática y otras ciencias. Por lo anterior, es necesario abordar sus
contenidos e insistir en su implementación paulatina en los diferentes
grados de la educación secundaria, teniendo siempre presente las
posibilidades de asimilación del joven, en cada etapa de su desarrollo.
En este sentido presentaremos los elementos
básicos que permitirán al maestro dentro del espacio de reflexión propio
de su hacer, seleccionar y adecuar las temáticas a desarrollar en cada
nivel.
Designamos bajo este nombre toda teoría que se fundamenta en dos principios: Definiciones y demostraciones.
En su desarrollo debe cumplir básicamente las siguientes condiciones:
En este sentido una teoría deductiva
se contrapone a una teoría intuitiva o natural debido a que esta última
presenta un contenido que conserva su sentido y su verdad derivado de la
experiencia.
Observaciones
Axioma o postulado:
Es una proposición primitiva que se admite como
cierta. En la construcción de una teoría axiomática se ha de partir de
un conjunto de axiomas, escogidos de tal forma que dicho conjunto ha de
ser: compatible, suficiente, independiente.
Analicemos estas características:
Compatibilidad: Dos axiomas no pueden formular en ellos, ni producir en sus resultados derivados, relaciones contradictorias.
Suficiencia: Toda proposición verdadera ha de ser deducible dentro del sistema.
Independencia: Ningún axioma ha de poderse deducir de otros.
Estableciendo el sistema de axiomas (que por
cierto, no tienen porque ser "evidentes"), se comienza a construir la
teoría enunciando y demostrando los teoremas.
Teorema
Es una proposición que ha de demostrarse cierta,
mediante un razonamiento lógico a partir de los axiomas o de otros
teoremas previamente justificados.
Como nuestro objetivo no es el desarrollo de un
curso formal en el sentido estricto, no orientaremos el trabajo hacia la
construcción paso a paso del cálculo de proposiciones. No obstante
consideramos importante dar a conocer los elementos básicos en la
estructura. Con ellos se puede construir todo el edificio bajo las
pautas trazadas.
R.F.1 Si P designa una fórmula, entonces ¬ (P) designa también una fórmula.
R.F.2 Si P , Q designan fórmulas, entonces (P)
 (Q) designa también una fórmula.
Si P , Q designan fórmulas, entonces:
 es el nombre de   es el nombre de   es el nombre de 
Si P , Q , R , S designan fórmulas se tiene:
R.A.1
 designa un axioma.
R.A.2
 designa un axioma
R.A.3
R.A.4  designa un axioma  designa un axioma
1. Determinar cuáles de las fórmulas siguientes son axiomas.
2. Si P , Q , R , S designan fórmulas, cuáles de las siguientes expresiones designan también fórmulas.
Ilustración 1
Presentamos a continuación un cuadro en el que se
describen algunos de los términos y relaciones primitivos, axiomas,
teoremas y relaciones definidas de dos teorías axiomáticas bien
conocidas: La Geometría de Euclides y la teoría de Conjuntos.
El proceso demostrativo consiste básicamente en:
A partir de unas proposiciones dadas que llamaremos premisas, obtener otra proposición que llamaremos conclusión mediante la aplicación de unas reglas lógicas .
Para demostrar que una proposición específica es un teorema en una teoría deductiva dada procedemos así:
Regla de validez 1: Todo axioma puede figurar en cualquier paso de una demostración.
Regla de validez 2: Si
figura en una demostración y P también figura en la misma demostración,
entonces se puede concluir Q en la demostración. Esta regla universal
se conoce con el nombre de Modus Ponendo Ponens o Modus Ponens.
Regla de validez 3: Si dos proposiciones son equivalentes
se puede sustituir la una por la otra en cualquier parte de una
demostración. Esta regla se conoce con el nombre de sustitución por
equivalencia.
Es necesario que distingamos en esta etapa del
proceso demostrativo el significado de dos términos que frecuentemente
se confunden: Certeza y validez.
Una cosa es que cada enunciado esté bien estructurado y otra que la argumentación esté bien construida. Una cosa es que la argumentación sea correcta o válida, y otra que cada enunciado sea verdadero.
Debemos distinguir en consecuencia entre dos
estados de conciencia del sujeto proponente, que llamaremos el
convencimiento o certeza subjetiva acerca de un enunciado, y la verdad o
falsedad objetiva de ese enunciado, que llamaremos valor de verdad del enunciado.
Podemos tener certeza de algo falso, o tener certeza de que algo es
falso siendo verdadero. En el lenguaje ordinario confundimos " cierto " con " verdadero ".
Pero en el lenguaje de la lógica, la certeza es subjetiva y por más que
haya algo de subjetividad en toda verdad, idealmente la verdad debería
ser objetiva, o sea que la correspondencia del enunciado con lo que
sucede en la realidad debe resultar la misma para diferentes sujetos que
se pongan a investigar la verdad de ese enunciado con seriedad e
imparcialidad.
En forma similar, en el lenguaje ordinario
confundimos "verdadero" con correcto o válido. Pero en la lógica hay que
distinguir entre una conclusión verdadera y una argumentación correcta o válida. A esa cualidad de ser correcto o válido que tiene un razonamiento es lo que llamamos su validez.
Un argumento es válido si en todas las
situaciones pensables o en todos los modelos posibles en los que las
premisas se cumplen, la conclusión también debe cumplirse. En este
sentido podemos agregar que la validez radica en la estructura misma del
razonamiento independientemente del modelo particular en el cual se
aplica.
Una argumentación en la que todos los pasos se apoyen en argumentos válidos se llama deducción , y se dice que la conclusión está demostrada ; una conclusión demostrada a partir de axiomas de una teoría se llama teorema de esa teoría.
Como hemos podido observarlo, cualquier
razonamiento deductivo que hagamos tomará la forma de un condicional.
Cada vez que empleemos reglas válidas para construir pruebas,
observaremos que existe una conexión lógica entre las hipótesis y la
conclusión, de tal manera que estaremos obligados a aceptar la
conclusión, cuando hayamos aceptado las hipótesis. Esto quiere decir que
una inferencia requiere una conexión lógica entre hipótesis y
conclusión la cual se expresa como "hipótesis Þ conclusión".
Para garantizar que nuestras conclusiones son
válidas en la construcción de pruebas, emplearemos leyes de la lógica,
las cuales reciben el nombre de reglas de inferencia o también reglas de prueba, que podemos definir así:
3.3.2.1 Reglas de inferencia
Son reglas que nos sirven para probar que a
partir de unas premisas dadas es posible hacer la demostración para una
conclusión específica. Su objetivo es abreviar las demostraciones. A
continuación destacamos las reglas de mayor utilización en las
demostraciones matemáticas:
Transitividad en la implicación o silogismo hipotético
Inferencia conjuntiva o conjunción
Simplificación en la conjunción
Modus tollendo ponens
Modus tollendo tollens
Método de casos o silogismo disyuntivo
 
Adjunción
Nota: Una demostración formal
en la lógica se fundamenta y desarrolla estrictamente utilizando
únicamente las reglas de validez enunciadas en el numeral 3.3 (La
demostración). Con base en ellas puede demostrarse que las implicaciones
implícitas en cada una de las reglas de inferencia son teoremas.
Como un objetivo práctico a
lograr es abreviar los procesos demostrativos, se introducen las reglas
de inferencia; éstas, conjuntamente con las reglas de validez permiten
ampliar y facilitar la obtención de los resultados válidos en esta
teoría.
Ilustración 2
Elaborar, utilizando las reglas de
validez e inferencia necesarias, una demostración para probar que de
las premisas dadas, es posible obtener la conclusión establecida.
1. En cada uno de los
problemas siguientes, tradúzcase a la forma simbólica y empleando las
reglas de inferencia y de validez, establézcase para cada argumento si
es o no válido. Intente inicialmente analizar el razonamiento sin
recurrir a la representación simbólica.
1.1 Si llueve, entonces iré al cine. Llueve.
Luego, iré al cine.
1.2 Si llueve, entonces iré al cine. No llueve.
Luego, no iré al cine.
1.3 Si me caigo de la bicicleta, me golpearé. Estoy golpeado; luego, me caí de la bicicleta.
1.4 Si voy al colegio pasaré por la
biblioteca. Si paso por la biblioteca consultaré el diccionario de
sinónimos. Voy al colegio; luego, consulté el diccionario de sinónimos.
1.5 Para que valga la pena tomarlo, es
suficiente que sea un excelente curso. O las calificaciones son justas o
no vale la pena tomar el curso. Las calificaciones no son justas.
Luego, no es un excelente curso.
1.6 Para que el candidato llegue a la
presidencia es necesario que gane las elecciones en el departamento. El
ganará las elecciones en el departamento únicamente si defiende los
derechos civiles. El no defenderá los derechos civiles. Por tanto, el
candidato no llegará a la presidencia.
1.7 Si los precios son bajos, entonces los
salarios son bajos. Los precios son bajos o no hay control de precios.
Si no hay control de precios, entonces hay inflación. No hay inflación;
por tanto los salarios son bajos.
1.8 La lógica es fácil o les gusta a los
estudiantes. Si las matemáticas son difíciles entonces la lógica no es
fácil. Por tanto, si a los estudiantes no les gusta la lógica, las
matemáticas no son difíciles.
1.9 Si no me motilo, entonces me quedaré en casa. Voy al cine. Por tanto, me motilé.
1.10 Si trabajo, entonces no estudio. Estudio
o repruebo el curso de matemáticas. Aprobé el curso de matemáticas;
luego, trabajo.
2. Verificar mediante las reglas de inferencia y validez en cada uno de los problemas siguientes si el argumento es o no válido.
3. Analizar, desde las reglas de inferencia, la validez o no validez de los siguientes razonamientos:
4. Inferencias simples fundamentadas en problemas-proceso.
4.1 Utilizando los bloques lógicos desarrollar la siguiente actividad:
Formar la colección de los bloques que son cuadrados o no rojos y solamente éstos.
1) Responder sí o no a las siguientes preguntas:
2) Completar los siguientes enunciados:
3) Para los elementos que hacen parte de la colección, cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas:
4) De las propiedades que se enuncian a
continuación señale aquellas que son suficientes para que el bloque esté
por fuera de la colección.
5) Si designamos por Cx: x es un bloque cuadrado.
Rx: x es un bloque rojo.
Indicar todas las proposiciones equivalentes que usted logra determinar en este ejercicio.
6) Consideremos todos los números de dos dígitos comprendidos entre 10 y 30 incluyendo ambos números.
Definimos una colección formada así: De los
números anteriores tomemos aquellos que son múltiplos de 3 o múltiplos
de 5 y únicamente éstos.
1. Responder sí o no a las siguientes preguntas:
2. Para los elementos que están en la colección, cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas.
3. Si designamos por: Ax: x es múltiplo de 3.
Con el propósito de facilitar la
identificación de las equivalencias básicas en el cálculo de
proposiciones y propiciar su empleo en las demostraciones, presentamos
este resumen. Vale la pena aclarar que varias de ellas fueron
verificadas en el taller anterior mediante el empleo de los bloques
lógicos.
      
Designamos en esta forma
los modelos o esquemas más generales que encontramos en los procesos
deductivos. Estos modelos, como veremos en el transcurso de su
desarrollo, están fundamentados lógicamente en teoremas o reglas de
inferencia ya establecidos.
3.3.4.1 Método directo o Método de la hipótesis auxiliar o demostración condicional
"Dado un conjunto de
premisas en una teoría, si bajo el supuesto de que una proposición P es
verdadera y utilizando las premisas disponibles se puede hacer una
demostración de que una proposición Q es verdadera, entonces en esa
teoría puede concluirse que
 es verdadero”.
Esquema operativo general:
Para demostrar que una proposición específica de la forma
es teorema se procede así:
A modo de síntesis, una demostración de la proposición
por el método directo, tendría este desarrollo esquemático: 
Observaciones:
Ilustración 3
Bajo el supuesto de que los siguientes
esquemas fueran teoremas, indicar esquemáticamente como se
desarrollarían sus demostraciones por el método directo.
Nota
Cuando se trata de una cadena de
implicaciones es de gran utilidad la aplicación reiterada de este
método, como podemos observarlo en la ilustración anterior. Siempre
asumiendo como hipótesis auxiliar el antecedente de la implicación
principal, podemos lograr así, tres premisas auxiliares, centrándose
finalmente la prueba en la validación del último consecuente.
Ilustración 4
Demostrar utilizando el método directo que la siguiente proposición es un teorema.
Debemos identificar con absoluta claridad
cual es el antecedente y el consecuente en la implicación principal;
designémoslos por A1 y C1 respectivamente.
A su vez, como el consecuente C1 es otra implicación, identifiquemos en esta antecedente y consecuente, designándolos por A2 y C2 respectivamente. De nuevo el consecuente C2 es otra implicación, identificando y designando por A3 y C3 su antecedente y consecuente. Puede observarse que en este proceso iterativo de identificación C3 es el último consecuente.
Procedamos ahora a la demostración del teorema.
Observaciones
1) Puede observarse en
una demostración con diferentes niveles de subordinación como al
obtenerse la conclusión buscada en dicho nivel, el respectivo nivel se
"cierra" estableciendo una implicación entre la hipótesis supuesta para
este y la conclusión lograda. Dicha implicación pasa a ser la última
proposición en el nivel inmediatamente anterior.
2) Debe tenerse en cuenta
además que las proposiciones intermedias que se obtienen en un nivel
determinado no pueden utilizarse posteriormente a la clausura del
respectivo nivel.
Ilustración 5
Demostrar utilizando el método directo que la siguiente proposición es un teorema.
 
Ilustración 6
Demostrar utilizando el método directo que la siguiente proposición es teorema: La suma de dos números pares es un número par.
Observación
En el lenguaje ordinario
encontramos los textos de los enunciados tal como está presentado el
ejemplo. Es necesario, en consecuencia, que podamos identificar en él la
implicación implícita con sus correspondientes antecedente y
consecuente; de lo contrario no sería posible abordar su demostración.
El enunciado anterior lo podemos presentar así:
"Si a, b son números pares, entonces a + b es un número par".
Ilustración 7
Demostrar utilizando el
método directo que la siguiente proposición es teorema: La suma de tres
enteros consecutivos es un múltiplo de tres.
Este enunciado lo podemos presentar así: Si a, b, c son enteros consecutivos, entonces a.b.c es múltiplo de tres.
Supongamos que a, b, c son enteros consecutivos. Hip. aux.
3.3.4.2 Método del contrarrecíproco
El teorema del contrarrecíproco
da lugar a una variante del método directo, que se utiliza mucho en
matemáticas y es conocido como método del contrarrecíproco. Este método
puede resumirse así: Supongamos que se quiere demostrar que una
proposición específica
es teorema y al intentar su demostración por el método directo no
logramos obtener la conclusión deseada. Se procede entonces a demostrar
por el método directo su contrarrecíproca  , si se consigue este objetivo entonces queda establecida la validez de al hacer sustitución por equivalencia.
Esquema operativo general
Para demostrar que una proposición específica de la forma
es un teorema se procede así:
A modo de síntesis una demostración de la proposición
por este método tendría este desarrollo esquemático:
Nota:
El hecho de demostrar una implicación utilizando su contrarrecíproco
hace que este método se designe como un método indirecto de
demostración, sin embargo debemos ser cuidadosos en esta clasificación,
puesto que la demostración en sí utiliza el método directo. El sentido
de indirecto se aplica más bien a la estrategia general, pero no al
método en sí.
Ilustración 8
Demostrar el siguiente teorema: Si el cuadrado de un número es impar entonces el número es impar.
Enunciado explícito: Si a 2 es impar entonces a es impar.
Empleando el método directo se tiene:
Pero, ¿qué podemos decir de
 ?
No podemos decir que este número es par ni tampoco que es impar. Esta
imposibilidad de obtener la conclusión buscada nos lleva a cambiar la
estrategia.
Procedamos ahora a demostrar su contrarrecíproco por el método directo. El enunciado del contrarrecíproco corresponde a:
Si a es par entonces
 es par.
Ilustración 9
Demostrar utilizando el
método del contrarrecíproco el siguiente teorema: Si el producto de dos
enteros es par, al menos uno de ellos es par.
Enunciado explícito: Para a y b números enteros. Si a.b es par entonces a es par o b es par.
Enunciado contrarrecíproco: Si no es cierto que a es par o b es par entonces a.b es impar.
Este enunciado es equivalente a : Si a es impar y b es impar entonces a.b es impar.
Supongamos que a es impar y b es impar (Hip. aux.)
3.3.4.3 Método de demostración por contradicción o reducción al absurdo
Antes de introducirnos en este método necesitamos precisar los siguientes conceptos que hacen parte de su estructura.
Contradicción: Designamos en esta forma, toda proposición correspondiente a la conjunción entre una proposición y su negación.
Teoría contradictoria o
inconsistente: Se dice que una teoría es contradictoria o inconsistente,
cuando en dicha teoría es posible demostrar una contradicción. En una
teoría contradictoria podemos concluir que una proposición es verdadera y
falsa a la vez.
El método de demostración
por reducción al absurdo se fundamenta en la condición de no
contradicción para una teoría, básicamente la estrategia consiste en
suponer explícitamente la negación de la proposición a demostrar, a
partir de esta hipótesis se trata de generar una contradicción, esto es:
que la teoría con ese supuesto es inconsistente y, en consecuencia, tal
hipótesis es falsa, o lo que es equivalente, que su negación es
verdadera, quedando validada la proposición inicial.
La estructura lógica de lo que acabamos de expresar, se puede resumir en la siguiente ilustración.
Ilustración 10
El teorema que acabamos de probar es el
soporte lógico de uno de los métodos de mayor utilización en las
matemáticas, designado como método de demostración por contradicción o
reducción al absurdo.
Esquema operativo general
Supongamos que se quiere demostrar que una proposición específica P es teorema. Por este método procedemos así:
Nota:
En la práctica, cuando se usa este método, al obtener una contradicción,
inmediatamente se valida la negación de la hipótesis supuesta dando por
terminada la prueba.
A modo de síntesis una demostración de una proposición P por este método tendría este desarrollo esquemático.
Observaciones
1) Cuando se emplea este método para la demostración de una implicación supongamos el caso
; podemos proceder en cualquiera de las dos formas esquemáticas siguientes:
Primera forma:
Segunda forma:
Integramos los métodos directo y reducción al absurdo, así:
2) Al
emplear este método y una vez supuesta la negación de la tesis como
hipótesis auxiliar, el objetivo es construir una contradicción
cualquiera, esta puede aparecer directamente como la conclusión de la
afirmación de la tesis; pero no es la única forma, la contradicción
también puede construirse con proposiciones derivadas dentro del proceso
de la demostración. A continuación ilustramos la situación descrita.
Ilustración 11
Demostrar utilizando el método de reducción al absurdo el siguiente teorema:
Si
es par entonces a es par.
Ilustración 12
Demostrar el siguiente teorema utilizando el método de reducción al absurdo.
Para a, b números reales.
Si a.b = 0 entonces a = 0 ó b = 0
Ilustración 13
Utilizar el método de reducción al absurdo para obtener la conclusión a partir de las premisas dadas.
3.3.4.4 Método de casos. (Silogismo disyuntivo).
La regla de inferencia de ese nombre da lugar a este método de demostración, casi de forzosa utilización cuando la hipótesis o una de las hipótesis es una disyunción de dos o más proposiciones, en cuyo caso procedemos así:
Esquema operativo general
Supongamos que se fuera a demostrar que un esquema de la forma
 es teorema. Bajo este método procedemos esquemáticamente así:
Ilustración 14
Demostrar el siguiente teorema: Para a, b números reales, si a = 0 ó b = 0 entonces a.b = 0
Ilustración 15
Demostrar el siguiente teorema:
El producto de tres números enteros consecutivos es un número par.
Supongamos: a, b, c son números enteros consecutivos. Hip. 1
 
Ley uniforme del producto.
Observemos que en este punto de la
demostración, cualquiera que sea la operatoria desarrollada no es
posible concluir que este producto sea un número par.
Recurrimos a una propiedad (Teorema) de los números enteros que establece que: Todo número entero es par o impar . Esto es:
 Teorema. Definición de número par y número impar. (2)
Supongamos:
 Hip. auxiliar 2
a.b.c = 2.k.(2.k + 1).(2.k + 2) Sust. la hip. 2 en la ec. (1)
a.b.c = 2.[k.(2.k + 1).(2.k + 2)] Ley asociativa en el pdcto.
 Ley clausurativa del producto en los enteros. 
Método directo
Supongamos:
 Hip. auxiliar 2
Leyes distributiva, conmutativa y asociativa.
 . Ley clausurativa del pdcto. 
a.b.c es un número par. Método de casos de 2), 3) y 4).
Si a, b, c son números enteros consecutivos entonces a.b.c es un número par. Método directo.
3.3.5 Otras consideraciones metodológicas en torno a las demostraciones en Matemáticas.
Por ser la demostración un tema crucial en
la comprensión y el desarrollo de la matemática y en el mismo sentido
causante del desánimo y en muchos casos la frustración de las nacientes
inquietudes que muchos estudiantes interesados en áreas de las
matemáticas confrontan a diario, consideramos importante exponer otro
aporte respecto a este tema.
Con este propósito recogemos aquí algunas
orientaciones expuestas por el profesor Daniel Solow quien al respecto
manifiesta: “La incapacidad para comunicar demostraciones de una manera
comprensible ha sido perjudicial para estudiantes y profesores en todas
las ramas de las matemáticas”. A su vez el profesor Peter Hilton, en el
prólogo de la obra de Solow expresa:
“Todos aquellos que han tenido la
experiencia de enseñar matemáticas y la mayoría de aquellos que han
tratado de aprenderlas, deben coincidir seguramente en que entender una
demostración matemática es una traba para la mayoría de los estudiantes.
Muchos de ellos tratan de salvar este obstáculo evadiéndolo, confiando
en la indulgencia del profesor para que no incluya demostraciones en los
exámenes. Esta confabulación entre estudiante y profesor evita algunas
de las consecuencias desagradables, tanto para el alumno como para el
profesor, producidas por la falta de dominio del tema por parte del
estudiante, pero esto no modifica el hecho de que un elemento clave de
las matemáticas, probablemente su característica más notable, no ha
entrado en el repertorio del estudiante.
El doctor Solow cree que es posible enseñar
al estudiante a entender la naturaleza de las demostraciones
sistematizándolas. Una de sus metas principales es enseñar al estudiante
a leer demostraciones como las que se encuentran en los libros de
texto. Seguramente, estas demostraciones, no se presentan en forma
sistemática, pero se puede enseñar al lector cómo reconocer los
elementos típicos de un argumento matemático en una presentación
informal de una demostración”.
3.3.5.1 Una revisión a la demostración por el método directo.
Vamos a considerar
ahora la demostración por el método directo, cuya estructura ya tuvimos
la oportunidad de analizar en el numeral 3.3.4.1, pero dirigiendo nuestra
atención a una estrategia sistemática que nos permita esa conexión
argumentada lógicamente entre la hipótesis y la tesis.
Esta estrategia la denomina el profesor
Solow, “método progresivo - regresivo” y consiste básicamente en
“progresar” argumentativamente desde la hipótesis hacia la tesis y
viceversa, “regresar” argumentativamente desde la tesis hacia la
hipótesis hasta concatenar ambos tipos de argumentación y consolidar así
un texto coherente, es decir una demostración.
Esquema operativo general.
Veamos inicialmente, mediante un esquema
simple, los elementos básicos que soporta este método y que a
continuación se analizarán detalladamente.
Objetivo: Demostrar por el método directo que una proposición específica de la forma
es teorema.
2. Nos ubicamos a continuación en la proposición Q ,
cuya verdad tenemos como objetivo probar, e iniciamos el proceso
regresivo preguntándonos: ¿Cómo o cuándo podemos concluir que la
proposición Q es verdadera? La manera en la cual se formula
esta pregunta es decisiva puesto que debemos estar en capacidad de
responderla. Esta pregunta se denominará en adelante “ pregunta de
abstracción ”, y no deberá contener ni los símbolos, ni la notación del
problema específico bajo consideración.
El paso siguiente en el proceso regresivo
es contestarla. Observemos que la respuesta a la pregunta de abstracción
es un proceso de dos fases: Primero damos una respuesta abstracta
(general) a una pregunta abstracta; luego aplicamos esta respuesta a la
situación específica (particular) que tenemos bajo estudio.
El proceso que incluye la formulación de la
pregunta de abstracción, contestarla abstractamente y aplicarla a la
situación específica se denominará “ proceso de abstracción ”. El
proceso de abstracción produce como resultado una proposición nueva
 con la propiedad de que si es verdadera entonces Q es verdadera. (  teorema).
Desarrollamos de nuevo el proceso de abstracción teniendo ahora como objetivo probar que
es verdadera (y en consecuencia Q ).
Podemos continuar realimentando este proceso regresivo pero,
preguntándonos en cada ocasión de qué manera, la información
suministrada por la hipótesis P nos puede permitir la selección en un momento dado, de la pregunta de abstracción.
Si ello no fuera posible continuamos en la etapa regresiva; generando nuevas proposiciones
 con las propiedades descritas.
4. El proceso progresivo se inicia con la proposición P , que hemos asumido verdadera, y se obtiene a partir de ella otra proposición, P 1 también verdadera como consecuencia de la anterior (
 teorema)
Es necesario aclarar que las proposiciones que en esta forma se derivan de P
no se deben al azar. Por el contrario, deben estar dirigidas hacia la
obtención de la última proposición generada en el proceso regresivo.
Esta última proposición debe actuar como guía en el proceso progresivo.
5. El proceso concluye
cuando se logra encadenar la última proposición generada en el proceso
regresivo con la última generada en el proceso progresivo.
6. Una
fase última consiste en redactar la argumentación en forma detallada o
simplificada, de acuerdo al objetivo del texto, siguiendo el sentido
progresivo desde la hipótesis hasta la tesis.
Observaciones.
Siendo conscientes de la dificultad propia
de cada demostración en su área respectiva y sin un afán reduccionista
en cuanto a la aplicación del modelo propuesto, consideramos importante
destacar los siguientes aspectos.
1. La clave de muchas demostraciones es la formulación correcta de la pregunta de abstracción.
2. Una de las dificultades
que puede surgir en el proceso de abstracción es la posibilidad de que
haya más de una pregunta de abstracción ante una proposición analizada;
en este caso procederemos por ensayo y error. Aquí es donde la
intuición, ingenio, creatividad, experiencia, diagramas y gráficas
pueden jugar un papel importante. Por esta razón la consulta permanente a
la información aportada por la hipótesis o sus proposiciones derivadas
es obligatoria para conducir por buen camino el proceso.
3. El proceso es dinámico
en el sentido en que, tanto en la fase regresiva como en la progresiva,
se pueden combinar las nuevas proposiciones para producir otras
proposiciones verdaderas.
4. Uno de los problemas
con el proceso progresivo es la posibilidad de generar proposiciones
inútiles, en el sentido de no aportar nada a la argumentación necesaria
en la demostración.
5. Finalmente debemos
recordar que el buen conocimiento de los contenidos básicos del área de
trabajo es un requisito indispensable para llevar a buen término el
objetivo propuesto, ya que nos provee de mejores y mayores recursos como
definiciones, proposiciones equivalentes, y en general una intuición
ilustrada en torno al desarrollo de la argumentación.
Ilustración 16
Demostrar la siguiente proposición:
Si el triángulo rectángulo ABC de lados a y b e hipotenusa c, tiene un área de
 
entonces, el triángulo es isósceles.
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miércoles, 19 de marzo de 2014
Razonamiento lógico, ejercicios de lógica, demostraciones
) 
Método directo 2....5.
Método directo 7....10. 
Método directo
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