Modelo Descenso de un paracaidista ecuaciones diferenciales

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/dinamica/paracaidista/paracaidista.html

http://teleformacion.edu.aytolacoruna.es/FISICA/document/teoria/A_Franco/dinamica/paracaidista/paracaidista.html

Descenso de un paracaidista

Dinámica

Movimiento en el seno de un fluido Fórmula de Stokes Medida de la viscosidad de un fluido (I) Medida de la viscosidad de un fluido (II) Descenso de un paracaidista Movimiento vertical de una esfera en un fluido Tiro parabólico con rozamiento. Modelo unidimensional movimiento en un fluido.		Descenso de un paracaidista en una atmósfera uniformeDescenso de un paracaidista en una atmósfera no uniforme. Referencias
		En las dos páginas anteriores, hemos estudiado el movimiento de un cuerpo en el seno de un fluido en régimen laminar (la fuerza de rozamiento era proporcional a la velocidad). Ahora, estudiaremos el movimiento de un cuerpo en el seno de un fluido en régimen turbulento (la fuerza de rozamiento es proporcional al cuadrado de la velocidad). Descenso del paracaidista en una atmósfera uniforme Cuando un paracaidista se lanza desde el avión suponemos que su caída es libre, el peso es la única fuerza que actúa sobre él, la aceleración es constante, y las ecuaciones del movimiento son las estudiadas en la página caída de los cuerpos. Cuando abre el paracaídas además del peso, actúa una fuerza de rozamiento proporcional al cuadrado de la velocidad. Caída libre antes de la apertura del paracaídas El paracaidista está sometido a la acción de su propio peso. El empuje del aire se considera despreciable ya que la densidad del aire es mucho menor que la del cuerpo. Por otra parte, consideramos que el rozamiento del paracaidista con el aire es pequeño.  Las ecuaciones del movimiento serán (se toma como origen el lugar de lanzamiento y el eje X apuntando hacia arriba).a=-g             v=-gt               x=x0-gt2/2 Cuando se ha abierto el paracaídas El paracaidista está sometido a la acción de su peso y de una fuerza de rozamiento proporcional al cuadrado de la velocidad.ma=-mg+kv2 La constante de proporcionalidad  k=ρAδ/2 r es la densidad del aire. Aunque la densidad del aire varía con la altura, en este cálculo aproximado se utilizará su valor al nivel del mar de 1.29 kg/m3. A es el área de la sección transversal frontal expuesta al aire, d es un coeficiente que depende de la forma del objeto En la siguiente tabla, se proporcionan los coeficientes de arrastre para varios objetos Forma del objeto Valor aproximado de d Disco circular 1.2 Esfera 0.4 Avión 0.06 Como el paracaidista es menos aerodinámico que una esfera, pero más aerodinámico que un disco de frente, tomamos para el coeficiente de forma el promedio de los valores dados para estas dos formas en la tabla, es decir, d=0.8. Cuando el paracaidista en caída libe abre el paracaídas, reduce bruscamente su velocidad hasta alcanzar una velocidad límite constante vl, que se obtiene cuando el peso es igual a la fuerza de rozamiento, es decir, cuando la aceleración es cero. -mg+kv2=0 El valor de la velocidad límite es independiente de la velocidad inicial del paracaidista en el momento de abrir el paracaídas, tal como podemos ver en las figuras. Ecuación del movimiento La ecuación del movimiento cuando se ha abierto el paracaídas la podemos escribir de la forma Integramos la ecuación del movimiento para obtener la velocidad v del móvil en cualquier instante t. Las condiciones iniciales son: v0 es la velocidad del paracaidista en el instante t0 en el que abre el paracaídas. Para integrar se hace el cambio v=z·vl. Se deshace el cambio y se despeja v en función del tiempo (t-t0), Se llega después de algunas operaciones a la expresión. Podemos obtener también la expresión de la posición del móvil en función de la velocidad, haciendo un cambio de variable La ecuación del movimiento se transforma en Que se puede integrar de forma inmediata La altura x del paracaidista en función de su velocidad v es Despejamos la velocidad v en función de la posición x del paracaidista. Actividades Se introduce La masa m del paracaidista en el control de edición titulado Masa del paracaidista El área del paracaídas en el control de edición titulado Área del paracaídas Se pulsa el botón titulado Empieza Se pulsa el botón titulado Abre paracaídas para que el paracaidista frene su caída libre al abrir el paracaídas. El círculo rojo representa al paracaidista en caída libre, el mismo círculo rodeado de un contorno de color azul indica que ha abierto el paracaídas. Se representa las fuerzas sobre el móvil: En color rojo, la fuerza constante del peso. En color azul, la fuerza de rozamiento proporcional al cuadrado de la velocidad. Cuando ambas flechas son iguales, la velocidad del paracaidista es constante e igual a la velocidad límite. Observar que la velocidad límite es independiente de la altura a la que abre el paracaídas. Para determinar la dependencia del valor final de la velocidad con el peso del paracaidista y el área del paracaídas. Se mantiene constante el peso del paracaidista, incrementando el área del paracaídas Se mantiene constante el área del paracaídas, incrementando el peso del paracaidista. Ejemplo: Masa del paracaidista de m=72 kg, Área del paracaídas A=0.6 m2 El paracaidista parte del reposo desde la posición x=2000 m Abre el paracaídas en la posición x=1000 m, sobre el suelo. Calcular la velocidad con la que llega al suelo Los datos para calcular la velocidad límite vl son: Densidad del aire r=1.29 kg/m3 Coeficiente de forma d =0.8 Aplicando las ecuaciones de caída de los cuerpos, calculamos la velocidad cuando el paracaidista alcanza la posición x=1000 m 1000=2000-9.8·t2/2 v=-9.8·t v=-140 m/s Esta es la velocidad inicial para la siguiente etapa del movimiento, v0=-140 m/s en la posición x0=1000 m La velocidad del paracaidista en la posición x=0, cuando llega al suelo, es v=-47.7 m/s

paracaidistaApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

		Descenso de un paracaidista en una atmósfera no uniforme. Habremos comprobado que un paracaidista que abre el paracaídas en la posición de partida, su velocidad va creciendo con el tiempo hasta que alcanza la velocidad límite constante. Vamos a comprobar que en una atmósfera no uniforme el comportamiento es más complejo. La velocidad del paracaidista va creciendo hasta alcanzar una velocidad máxima y luego, decrece hasta que llega al suelo. Variación de la presión con la altura En una atmósfera isotérmica, la variación de la presión en función de la altitud x está dada por la ley de Laplace. P0 es la presión de la atmósfera a nivel del mar M es el peso molecular del aire 28.8 g/mol=0.0288 kg/mol g es la aceleración de la gravedad k=1.3805·10-23 J/K es la constante de Boltzmann T es la temperatura de la atmósfera en kelvin NA=6.0225·1023 es el número de Avogadro, número de moléculas que caben en un mol Aunque la atmósfera no es isotérmica, la variación de presión con la altura se puede aproximar a una exponencial decreciente, para una temperatura efectiva de 254 K. donde P0= 1 atm es la presión a nivel del mar. La presión a una altura de x=10000 m es de solamente 0.26 atm. Ecuación del movimiento La ecuación del movimiento es Podemos escribir esta ecuación de forma alternativa Donde k0 es el valor de la constante de proporcionalidad de la fuerza de rozamiento, al nivel del mar, donde la presión es P0, y la constante λ=7482.2.m-1. Esta ecuación admite una solución en términos de una serie infinita, véase el artículo citado en las referencias. El programa interactivo la resuelve por procedimientos numéricos. Máxima velocidad alcanzada por el paracaidista. Observamos que el paracaidista va incrementando su velocidad a medida que cae, alcanzando un máximo y luego, la velocidad disminuye hasta que llega al suelo. Cuando se alcanza la máxima velocidad dv/dx=0. La relación entre la velocidad máxima vm y la altura xm a la que se produce es donde vl es la velocidad límite que alcanzaría un paracaidista en una atmósfera uniforme. Se puede calcular xm, por procedimientos numéricos si disponemos de la solución analítica v=v(x) que por su complejidad omitimos en esta página. Actividades Se introduce La masa m del paracaidista en el control de edición titulado Masa El área del paracaídas en el control de edición titulado Área La altura (en km) desde la que se lanza el paracaidista, actuando en la barra de desplazamiento titulada Altura. Se pulsa el botón titulado Empieza El paracaidista abre el paracaídas desde la posición de partida. En la parte izquierda del applet, se representa la presión del aire en función de la altura, de acuerdo con el modelo de atmósfera isoterma. A continuación, observamos el movimiento del paracaidista sobre un fondo de color que representa la presión en función de la altura en una escala de intensidades de color rojo. Al color blanco, le corresponde la presión nula, y al color rojo, la presión a nivel del mar. Finalmente, en la parte derecha, se representa la velocidad del paracaidista en función de la altura. En realidad, se representa En el eje horizontal 1-x/x0, donde x0 es la altura de lanzamiento En el eje vertical v/vl, donde vl es la velocidad límite constante que alcanza el paracaidista en la atmósfera uniforme. Observamos que el paracaidista va incrementando su velocidad a medida que cae, alcanzando un máximo. La velocidad disminuye y alcanza un valor próximo a vlcuando llega al suelo, en la gráfica al valor v/vl=1. Se sugiere al lector que represente en un papel, las alturas a las que el paracaidista alcanza la velocidad máxima xm en función de la posición inicial de partida x0. Usar los botones Pausa/Continua y Paso para acercarse a la posición xm. Ejemplo: Masa del paracaidista de m=72 kg, Área del paracaídas A=0.6 m2 El paracaidista parte del reposo desde la posición x0=30000 m La velocidad límite vl que alcanzaría el paracaidista en una atmósfera uniforme es vl=47.7 m/s Observamos que a la altura de xm=23996 m se alcanza la máxima velocidad. De la ecuación que relaciona xm y vm obtenemos vm. vm=237.3 m/s El programa interactivo nos proporciona el valor vm=238.5 m/s

paracaidistaApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

Referencias

Del apartado Descenso del paracaidista en una atmósfera no uniforme
Mohazzabi P. High-altitude free fall. Am. J. Phys. 64 (10) October 1996, pp. 1242-1246