martes, 2 de noviembre de 2021

Math and Logic Problems

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9	Steve G.	Grade 9	China	17 stars
10	Leone V G	Grade 4	Italy	16 stars

Problem of the Day

Number SEVEN is mystic and frequently used in human culture.

What is the most reasonable cause of that fact?

TEOREMA DE TALES Y SEMEJANZA DE POLÍGONOS en Descartes

https://proyectodescartes.org/uudd/materiales_didacticos/Semejanza_y_homotecia-JS/Homote2.htm

1.TEOREMA DE TALES
Si se cortan varias rectas paralelas por dos rectas transversales, la razón de dos segmentos cualesquiera de una de ellas es igual a la razón de los correspondientes de la otra. En ejemplo que se presenta en la escena Descartes siguiente tres rectas paralelas son cortadas por dos secantes r y s y puede comprobarse en todo momento qué valor alcanzan los segmentos determinados en estas dos rectas y sus cocientes, que son siempre iguales.
O.y O.x zoom	1.- Observa en la escena cómo se cumple en todo momento que AB/BC=A'B'/B'C'. Mueve los extremos A, A', C y C' y mira si cambian los valores de los cocientes. 2.- Mueve también la paralela central arrastrando el punto rojo con el ratón y verás cómo varía cada uno de los cocientes. 3.- Repite el proceso en tu cuaderno con las mismas medidas y realiza las mediciones para determinar si se cumple o no la igualdad de cocientes.
4.- Desplaza la paralela central hasta que sean iguales los segmentos AB y BC y comprueba si son iguales los segmentos A'B' y B'C'. Mueve las dos rectas r y s para ver si se mantiene la igualdad.

2. CONSECUENCIA DEL TEOREMA DE TALES
Si en la escena anterior se hacen coincidir los puntos A y A´ de manera que formen triángulo con C y C´, el teorema de Tales se sigue cumpliendo y, además, puede concluirse que: Toda paralela a un lado de un triángulo que corta a los otros dos, determina sobre éstos segmentos proporcionales. En la escena Descartes en el triángulo ABC se traza una paralela al lado BC que pasa por D y E y determina segmentos que son proporcionales porque sus cocientes son iguales.
O.y O.x zoom	5.- Pulsa el botón Inicio y dibuja en tu cuaderno un triángulo idéntico al de la escena, traza la paralela al lado BC y comprueba las medidas y sus cocientes. Constata cómo si desplazas los puntos B y C horizontalmente el valor de los cocientes no varía, sin embargo sí varía al desplazar la recta. 6.- Mueve la recta por encima del vértice A y verás que sigue cumpliéndose la proporcionalidad de esos segmentos. Pasará igual si la arrastras por debajo de B y C.
7.- En un triángulo de lados AB=10 cm, AC=12 cm y BC=8 cm se traza una paralela al lado BC a una distancia de 4 cm del vértice A, tomados sobre el lado AB, y que corta a los lados en D y E. Calcula las medidas AD, AE y DE

3. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos iguales y sus lados proporcionales; es decir, si los triángulos ABC Y A'B'C' son semejantes se verifica que los ángulos A=A', B=B' y C=C', y los cocientes A'B'/AB=B'C'/BC=C'A'/CA=r, llamada razón de semejanza.
O.y O.x zoom r	8.- En la escena Descartes modifica la forma y el tamaño del triángulo verde y observa como varía el triángulo azul, semejante al primero. 9.- Si los lados del triángulo verde fueran 3, 4 y 5 ¿Qué valor tendrían los del azul? 10.-Varía la razón de semejanza y mira que los triángulos son idénticos en forma y tamaño.
11.-Disminuye la razón hasta 0.5 y compara ambos triángulos ¿Cómo son ahora los lados del triángulo verde si los del azul fueran 3, 5 y 7? 12.- Repite la operación para razones 1.5, 0.25 y 3 En este último caso cambia la escala a 16 para poder ver ambos triángulos. 13.- ¿Dos triángulos iguales, serían semejantes? ¿Y dos triángulos equiláteros? 14.- Si dos triángulos tienen iguales sus ángulos ¿son semejantes? Si dos triángulos tienen sus lados proporcionales ¿son semejantes?

4. SEMEJANZA DE POLÍGONOS
Dos polígonos son semejantes cuando tienen sus ángulos iguales y sus lados proporcionales; es decir, si los polígonos ABCDE Y A'B'C'D'E' son semejantes se verifica que los ángulos: A=A', B=B', C=C', D=D' y E=E', y los cocientes A'B'/AB=B'C'/BC=C'D'/CD=D'E'/DE=E'A'/EA=r, llamada razón de semejanza.
O.y O.x zoom r	15.- En la escena Descartes modifica la forma y el tamaño del pentágono azul y observa como varía el pentágono rojo, semejante al primero. Si los lados del pentágono azul fueran 3, 4, 4, 6 y 6.5 ¿Qué valor tendrían los del rojo? 16.- Varía la razón de semejanza a 1 y mira que los pentágonos son idénticos en forma y tamaño. Aumenta la razón a 2 y compara ambos pentágonos ¿Cómo son ahora los lados del pentágonos azul si los del rojo fueran 3, 5, 6, 8 y 7?
17.- Repite la operación para razones 2, 3 y 0.25 En este último caso cambia la escala a 16 para poder ver ambos pentágonos. 18.- ¿Dos pentágonos iguales, serían semejantes? ¿Y dos pentágonos regulares? Si dos pentágonos tienen iguales sus ángulos ¿son semejantes? Si dos pentágonos tienen sus lados proporcionales ¿son semejantes?

Printf en Java System.out.printf

http://mathcenter.oxford.emory.edu/site/cs170/printf/

The printf Method

Suppose we want to print to the screen the approximate value of some variable. For example, maybe we have written a program that calculates mortgage payments based on the amount of the loan, the interest rate, payback period, etc... Since the payment amount is a monetary amount, we don't want to display it to the user with more than two decimal places, but retaining the extra precision in the variable might be useful if it is to be used for some other calculation later -- but how do we do that? How do we print just an approximation of a variable's value (to some number of decimal places)?

Interestingly, it is possible to creatively use casting and promotion to print a "double" value with only two decimal places. For example, we might do something similar to the following:

double x = 12.345678;
System.out.println("Number is approximately " + (int) (x * 100) / 100.0);

But this seems a bit "kludgy". Java provides a better way to do the same thing with the "printf" method:

double x = 12.345678;
System.out.printf("Number is approximately %.2f", x);

//prints "Number is approximately 12.35"

Syntax

System.out.printf( format, item1, item2, ..., itemK );

Here, "format" is a string to print with "format specifiers" (each consisting of a percent sign and a conversion code) that tell Java where and how to display "item1", "item2", etc... within the string printed.

Example

int n = 100;
int i = 4;
System.out.printf("You completed %d out of %d tasks", i, n);

//prints "You completed 4 out of 100 tasks"

In the example above, the format specifier "%d" tells the printf method to print an integer. The first "%d" encountered in the format string gets replaced by the first argument to printf after the string (i.e., i=4), the second "%d" encountered in the format string gets replaced by the second argument to printf after the string (i.e, n=10), and so on...

Looking at our earlier example again,

double x = 12.345678;
System.out.printf("Number is approximately %.2f", x);

//prints "Number is approximately 12.35"

we now see that the format specifier "%.2f" tells the printf method to print a floating point value (the double, x, in this case) with 2 decimal places. Similarly, had we used "%.3f", x would have been printed rounded to 3 decimal places.

Some frequently-used format specifiers

Specifier	Output	Example
%b	a boolean value	true or false
%c	a character	'a'
%d	a decimal (i.e., base 10) integer	200
%f	a floating-point number	45.4600000
%e	a number in scientific notation	4.556000e+01
%s	a string	"Java is cool"

Baricentro Demostración, punto intersección medianas en un triangulo

https://demostracionpy.wordpress.com/2014/11/24/baricentro-en-geometria-analitica/

Baricentro en geometría analítica

Teorema:

Sea $ABC$ un triángulo cualquiera de vértices $(x_1,y_1)$ , $(x_2,y_2)$ y $(x_3,y_3)$ , entonces su baricentro (punto de trisección de las medianas) tiene como coordenada:

$G=(\tfrac{x_1+x_2+x_3}{3};\tfrac{y_1+y_2+y_3}{3})$

Demostración:

Sea ΔABC un triángulo cualquiera donde $A=(x_1, y_1), B=(x_2, y_2), C=(x_3, y_3)$ , si trazamos el punto medio a cada uno de los lados AC, AB y CB usamos la fórmula $D=(\tfrac{x_1+x_3}{2};\tfrac{y_1+y_3}{2})$ , $E=(\tfrac{x_1+x_2}{2};\tfrac{y_1+y_2}{2})$ y $F=(\tfrac{x_2+x_3}{2};\tfrac{y_3+y_2}{2})$ respectivamente. Baricentro

Si trazamos una recta paralela a una de las medianas (segmento desde el vértice hasta el punto medio opuesto) en este caso a $AF$ , tenemos que desde el punto E’ -que es nuevamente la mitad del punto medio del segmento $CB$ – hasta el punto E, forman un segmento que corta a $GB$ , de la misma manera el segmento $DD'$ . Por el teorema de Tales vemos que $2\tfrac{DG}{D'F}=\tfrac{GB}{FB}$ , entonces podemos apreciar que $2DG=GB$ . De forma análoga se demuestran que cumplen también para $AF$ y $CE$ .