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ÁLGEBRA LINEAL CON GEOGEBRA
Ing. Luis Manfredo Reyes
GeoGebra es un software matemático. Fue creado con la idea de ser usado para la educación en colegios y universidades. Fue creado por Markus Hohenwarter, en el año 2001 en la Universidad de Salzburgo, luego en la Universidad de Atlantic, Florida, luego en la Universidad Estatal de Florida y actualmente , en la Universidad de Linz, Austria.
El software tiene dos partes importantes: un procesador geométrico y un procesador algebraico.
GeoGebra permite el trazado de construcciones geométricas de todo tipo así como la representación gráfica, el tratamiento algebraico y el cálculo de funciones reales de variable real, sus derivadas, integrales, etc.
DISPONIBILIDAD:
Existen versiones para: Windows, Linux, MacIntosh, Android e Ios.
Existen algunas diferencias entre las versiones, pero la mayoría de aspectos son iguales.
La última versión disponible es la 5.
En éste artículo se muestran aplicaciones del Geogebra en el tema del álgebra, lineal. partiendo de ejemplos clásicos de cualquier curso de álgebra lineal
Se asume que el usuario tiene instalado el programa y conoce el uso básico del mismo
DESDE LA VISTA ALGEBRAICA
- Creación de matrices y vectores
El formato que Geogebra usa para definir vectores y matrices, es el mismo usado por otros paquetes matemáticos
Por ejemplo, para crear ésta matriz 3 x 3:
En Geogebra se ingresa lo siguiente:
a={{1,2,3},{4,5,6},{7,8,9}}
el resultado es almacenado como un objeto llamado “a”, que puede utilizarse para otros cálculos.
Para crear un vector fila: b={{4,5,6}}
Para crear un vector columna c={{4},{5},{6}}
DESDE LA VISTA HOJA DE CÁLCULO
Es posible crear matrices y vectores desde la vista de hoja de cálculo
se ingresan los datos en a forma usual:
Se selecciona el rango de datos de la forma usual.
Luego, se da click sobre el ícono {1,2} y se escoge matriz
Aparece una ventana donde pregunta el nombre de la matriz, si los objetos son dependientes y si se transponen los datos. Luego se oprime e botón crear.
En la vista algebraica aparece un objeto con el nombre solicitado
Operaciones comunes:
Adición (suma) y sustracción de matrices:
se ingresan los datos en a forma usual:
Se selecciona el rango de datos de la forma usual.
Luego, se da click sobre el ícono {1,2} y se escoge matriz
Aparece una ventana donde pregunta el nombre de la matriz, si los objetos son dependientes y si se transponen los datos. Luego se oprime e botón crear.
En la vista algebraica aparece un objeto con el nombre solicitado
Operaciones comunes:
Un escalar por una matriz:
a={{1,2,3},{4,5,6},{7,8,9}} o se crea en a vista de hoja de cálculo
a*5
Adición (suma) y sustracción de matrices:
Para que éstas operaciónes sean válidas, las matrices deben tener las mismas dimensiones
La operación se puede realizar directamente, o bien almacenar las matrices en objetos
a={{2,-1,-2},{0,4,1},{-3,3,5}}
b={{-3,0,1},{4,3,3},{0,0,4}}
a+b
a-b
PRODUCTO DE MATRICES:
Es necesario cumplir con la condición de conformabilidad: el número de columnas de la primera matriz debe ser igual al número de filas de la segunda matriz.
Ejemplo: con las mismas matrices a y b efectúe: a x b
a*b
DETERMINANTE DE UNA MATRIZ
Esta operación solamente se puede aplicar a matrices cuadradas (n x n)
Con las mismas matrices a y b
Determinante[a]
Determinante[b]
INVERSA DE UNA MATRIZ
Esta operación solamente se puede aplicar a matrices cuadradas (n x n)
Con las mismas matrices a y b
Inversa[a]
Inversa[b]
TRASPOSICIÓN DE MATRICES:
Las filas se convierten en columnas y las columnas en filas
Traspone[a]
Traspone[b]
PRODUCTO ESCALAR (PRODUCTO PUNTO O COMBINACIÓN LINEAL)
ProductoEscalar[(1, 3, 2), (0, 3, -2)]
PRODUCTO CRUZ
ProductoVectorial[{1, 3, 2}, {0, 3, -2}]
SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES DE ECUACIONES:
Formar la matriz de coeficientes:
a={{1,1,-2},{2,-4,1},{0,2,-3}}
Formar el vector de términos independientes:
{{1},{0},{-1}} Geogebra lo llama matriz1
Invertir la matriz de coeficientes:
c=Inversa[a]
Multiplicar por el vector de términos independientes
c*matriz1… El resultado se almacena en matriz2
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