Ejercicio Resuelto Gram-Schmidt, QR

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Ejercicio Resuelto 1. (Gram-Schmidt, QR, desarrollo de Fourier)

Vamos a aplicar el método de Gram-Schmidt (ejercicios 3 y 5) para calcular una BON a partir de una base dada o calcular una descomposición QR:

ℜ⁴ = Gen{v₁ = [1, 0, 1, 0]^T, v₂ = [1, 1, 0, 0]^T, v₃ = [0, 1, 1, 1]^T, v₄ = [0, 1, 1, 0]}, v = [0, -1, 1, 1]

1. Primer paso. Sea
   
2. Segundo paso. Calculamos u₂ (el numerito encerrado en el cuadrito es el que ocupará la posición (1,2) en la matriz ℜ¹, primer paso antes de obtener la QR, vea el ejercicio 3)
   
   Para evitar hacer cuentas con fracciones se saca factor común:
   
   
3. Tercer paso. Con la misma idea se van sacando los demás vectores, con cuidado de guardar las entradas de ℜ¹ (que son los números encerrados en un cuadrito) y arrastrando las fracciones para no operar con ellas:
   
4. Cuarto paso. Mismo comentario que el anterior:
   
5. Quinto paso: A = [v₁, v₂, v₃, v₄] = Q₁R₁
   
6. Sexto paso. Preparamos las normas de los vectores ortogonales obtenidos, pues las necesitamos para normalizar:
   
   Para no hacer cuentas con fracciones recuerde que ||αx|| = |α| ||x||
   
   
   Para simplificar las operaciones, sepa que si u = αv entonces u/||u|| = v/||v||: Por ejemplo, con el vector u₃:
   
   
   Teniendo en cuenta estas recomendaciones se reduce mucho la dificultad de las operaciones.
7. Séptimo paso. Hacemos lo que hemos indicado en el apartado anterior para normalizar las columnas. Para obtener R hay que multiplicar las .las de R₁ por cada una de las normas que hemos preparado en el paso anterior.
   
   Si tengo que utilizar la BON (para hacer un desarrollo de Fourier, hay algunas recomendaciones que nos pueden ayudar. Por ejemplo, supongamos que quiero el desarrollo de Fourier de v = [1, -1, 2, 3]^T en la BON que se ha calculado en el apartado anterior. No necesitaría la BON, me basta con una ortogonal: la que sale directamente del método de Gram-Scmidt, pero sin las fracciones que la multiplican (tenga en cuenta que si dos vectores u y v son ortogonales entonces también lo son sus múltiplos):
   
   
   Si llamo (renombrando los vectores) {u₁, u₂, u₃, u₄} a la BON, el desarrollo de Fourier que quiero calcular es
   
   (u₁^Tv)u₁ + . . . + (u₄^Tv)u₄
   Eso es exactamente lo mismo que
   
   
   cuya expresión parece más complicada, pero en la práctica es más sencilla porque no contiene radicales. La calculamos
   
   
   Simplificamos
   
   
   Si sacamos factor común un denominador evitaremos hacer operaciones con las fracciones:
   
   
   Explique porqué nos ha dado el mismo vector de partida.