lunes, 26 de octubre de 2020

Distancia de un Punto a una Recta - Demostración

 

https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/ContribucionesV7n12006/Distancia/node2.html

Distancia de un Punto a una Recta


Desarrollo de la Propuesta


Iniciamos este trabajo recordando la manera de hallar la distancia entre dos puntos $ P\left( x_{0},y_{0}\right) $ y $ Q\left( x_{1},y_{1}\right) $ en un sistema de coordenadas rectangulares. Consideremos los puntos $ P$ y $ Q:$

Nos interesa encontrar la longitud $ d$. Por el teorema de Pitágoras es fácilmente observable en la figura 1 que:

 

 


El problema que nos interesa resolver, consiste en encontrar la distancia $ d$ de un punto dado del plano cartesiano a una recta. Para ello consideremos un punto $ P$ del plano, $ P$ de coordenadas $ \left( x_{0},y_{0}\right) $ y la recta $ L$ de ecuación asociada $ y=mx+b$. Debemos encontrar la distancia de $ P$ a la recta $ L$, por definición dicha distancia corresponde a la longitud del segmento perpendicular a $ L$ con extremo $ Q.$ Obsérvese la siguiente figura:

 

Si conociéramos las coordenadas de $ Q$ nuestro problema quedaría completamente resuelto, pues $ d$ correspondería a la distancia entre $ P$ y $ Q,$ que la podemos determinar mediante la expresión $ \left( 1\right) .$ Hallemos estas coordenadas.

Supongamos que $ Q$ es de coordenadas $ \left( x_{1},y_{1}\right) ,$ de acuerdo a la figura 2 se puede concluir que $ Q,P\in L_{1},$ hallemos la ecuación asociada a esta recta.

Pendiente de $ L_{1}$

La ecuación de $ L$ corresponde a $ y=mx+b,$ como $ L\perp L_{1}$ tenemos que:

$\displaystyle m\cdot m_{1}=-1\;\Longrightarrow\; m_{1}=\frac{-1}{m} $

Intersección con el eje de las ordenadas

Como $ P\in L_{1}$ se tiene que:

$\displaystyle b_{1}=y_{0}-m_{1}x_{0}=y_{0}+\frac{x_{0}}{m} $

finalmente la ecuación asociada a $ L_{1}$ es:

$\displaystyle y=-\frac{x}{m}+y_{0}+\frac{x_{0}}{m}=\dfrac{-x+my_{0}+x_{0}}{m} $

Como $ Q$ es un punto tanto de $ L$ como de $ L_{1},$ sus coordenadas satisfacen las ecuaciones asociadas a ambas rectas, de donde:

$\displaystyle y_{1}=mx_{1}+b\qquad\wedge\qquad y_{1}=\dfrac{-x_{1}+my_{0}+x_{0}}{m} $


entonces


\begin{displaymath} \begin{array}[c]{rcl} \dfrac{-x_{1}+my_{0}+x_{0}}{m}&=&mx_{1... ...: }y_{1}&=&\dfrac{m^{2}y_{0}+mx_{0}+b}{m^{2}+1}\\ \end{array}\end{displaymath}



Quedando de esta forma determinadas las coordenadas de $ Q.$ Luego, por $ \left( 1\right) $ la distancia $ d$ viene dada por:



\begin{displaymath}%% \begin{array}[c]{rcl}%% d&=&\sqrt{\left( x_{0}-\dfrac{m\le... ...\left\vert \triangle \right\vert \sqrt{m^{2}+1}\\ \end{array}\end{displaymath}



donde $ \,\triangle=\dfrac{y_{0}-mx_{0}-b}{m^{2} +1}=\dfrac{y_{0}-y\left( x_{0}\right) }{m^{2}+1}\;\,$ y $ \,y\left(x_{0}\right)\,$ representa la ecuación de la recta $ \,L\,$ evaluada en $ \,x_{0}.\,$



En conclusión, la distancia $ d$ del punto $ P$ de coordenadas $ \left( x_{0},y_{0}\right) $ a la recta $ L$ de ecuación asociada $ y=mx+b$, corresponde a:

$\displaystyle d=\left\vert \triangle\right\vert \sqrt{m^{2}+1}$ con: $\displaystyle \triangle=\dfrac {y_{0}-y\left( x_{0}\right) }{m^{2}+1} $

El resultado clásico que aparece en los libros de álgebra lineal para resolver este problema, establece que:

$\displaystyle d=\frac{\left\vert Ax_{0}+By_{0}+C\right\vert }{\sqrt{A^{2}+B^{2}}} $

con $ Ax+By+C=0$ la ecuación general de la recta.

Note que ambos resultados son equivalentes y no conducen a ningún tipo de contradicción, pues cualquiera de ellos se puede inferir del otro.

Lo importante de la demostración que hemos explicado, es que no requiere de ningún conocimiento de álgebra lineal para su desarrollo, por el contrario, únicamente se fundamenta en algunos conceptos de matemática básica.



Ejemplos de Aplicación


  1. Determine la distancia del punto $ P$ de coordenadas $ \left( -2,1\right) $ a la recta $ L$ de ecuación asociada $ 5y+3x=1.$



    Solución



    $ 5y+3x=1\;\Longrightarrow\; y=-\frac{3}{5}x+\frac{1}{5}$

    Luego:

    $\displaystyle \triangle=\displaystyle{\frac{1-\left( -\displaystyle{\frac{3}{5}... ...c{1}{5}}\right) }{\displaystyle{\frac{9}{25}}+1}}=-\displaystyle{\frac{5}{17}} $



    Finalmente:

    $\displaystyle d=\left\vert -\displaystyle{\frac{5}{17}}\right\vert \sqrt{\displaystyle{\frac{34}{25}}}=\displaystyle{\frac{\sqrt{34}}{17}} $



  2. Halle la distancia entre las rectas paralelas:

    \begin{displaymath}%% \begin{array}[c]{c}%% L_{1}:y=2x-1\\ L_{2}:y=2x+4 \end{array}\end{displaymath}



    Solución



    Por definición, esta distancia $ d$ corresponde a la longitud del segmento perpendicular de un punto cualquiera de ellas a la otra recta. De esta forma, hallemos las coordenadas de un punto $ P$ de $ L_{1}$ y posteriormente calculemos la distancia de $ P$ a $ L_{2}$.

    Para $ x=0$ en $ L_{1}$ se obtiene $ P=\left( 0,-1\right) $, luego:

    $\displaystyle \triangle=\displaystyle{\frac{1-4}{5}}=-1 $

    En consecuencia:

    $\displaystyle d=\left\vert -1\right\vert \sqrt{5}=\sqrt{5} $



  3. Determine las coordenadas de un punto $ P$ cuya distancia a la recta $ L $ de ecuación asociada $ y=\displaystyle{\frac{x-7}{2}}$ corresponde a $ 4,$ y represente geométricamente el conjunto de todos los puntos del plano que satisfacen esta condición.



    Solución



    Sea $ P=\left( x,y\right) $ entonces:

    \begin{displaymath}%% \begin{array}[c]{rclcl}%% \left\vert \triangle\right\vert ... ...vert 2y-x+7\right\vert &=&4\sqrt{5}\\ & & & &\\ \end{array}\end{displaymath}


    de donde $ \,-x+2y\,=\,4\sqrt{5}-7 \; \; \vee \;\; -x+2y\,=\,-4\sqrt{5}-7.\,$



    Ambas ecuaciones representan las ecuaciones asociadas a dos rectas paralelas que llamaremos $ L_{1}$ y $ L_{2}$ respectivamente, cualquier punto de las rectas es una solución. Si en la ecuación de $ L_{1}$ $ x=0$ entonces $ y=2\sqrt{5}-\frac{7}{2}$ y el punto $ P=\left( 0,2\sqrt{5}-\frac{7}%% {2}\right) $ satisface la condición deseada. Geométricamente las rectas paralelas $ L_{1}$ y $ L_{2},$ y la recta $ L$, vienen dadas por la siguiente figura:



    La recta de color azul corresponde a $ L_{1}$, la de color negro a $ L$ y la de color verde a $ L_{2}.$

 

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