Análisis Tiempo-Frecuencia: fourier, Gabor, Wavelets por Leandro Di Persia

Análisis Tiempo-Frecuencia: fourier, Gabor, Wavelets por Leandro Di Persia

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Transcripción

1 Análisis Tiempo-Frecuencia por Leandro Di Persia

2 Unidad X- Análisis tiempofrecuencia Introducción - motivación Transformada de Fourier de Tiempo corto Diferentes ventanas - Transformada de Gabor Principio de Incertidumbre - Resolución temporal y frecuencial Redundancia de la STFT Transformada Wavelet continua y discreta Distribución de Wigner - Ville

3 Introducción - Motivación A=sin(2*pi*5*t) 5 Transformada de fourier de A Magnitud tiempo (seg) -5 5 frecuencia (Hz) B=sin(2*pi**t) 5 Transformada de fourier de B Magnitud tiempo (seg) -5 5 frecuencia (Hz)

4 Introducción - Motivación C=[A B] 6 Transformada de fourier de C tiempo (seg) Magnitud frecuencia (Hz) D=[B A] 6 Transformada de fourier de D tiempo (seg) Magnitud frecuencia (Hz)

5 Introducción - Motivación 2 E=A+B 2 Transformada de fourier de E tiempo (seg) Magnitud frecuencia (Hz) F=[2*A 2*B] 2 Transformada de fourier de F tiempo (seg) Magnitud frecuencia (Hz)

6 Introducción - Motivación Señal con modulacion en frecuencia lineal (parte real) tiempo (seg) 2 Transformada de Fourier de la señal 5 Magnitud Frecuecnia (Hz)

7 Motivación No alcanza con conocer la información de frecuencias se necesita información sobre los tiempos en los que ocurren esas frecuencias Fourier no hay información de tiempo Ocurre en señales no estacionarias (parámetros variables en el tiempo) Otro ejemplo: el ejercicio de la guía de TF en el que había que determinar el momento en que se tocaba una nota

8 Motivación C=[A B].*V 4 Transformada de Fourier de C C2=[A B].*V Ma agnitud Magnitud Transformada de Fourier de C C3=[A B].*V3 Transformada de Fourier de C tiempo (seg) Magnitud frecuencia (Hz)

9 Transformada de Fourier de tiempo Corto (STFT) Dada una ventana real simétrica, tal que g( t) = g( t) Se genera una base al desplazarla y modularla con una frecuencia ξ, y se obtiene un átomo tiempo-frecuencia : iξ t g ( t) = e g( t u) u, ξ Suponiendo que ha sido normalizada de forma que gu, ξ ( t) =, la STFT o Transformada de Fourier Ventaneada se obtiene mediante el producto interno f ( t), g ( t) : ξ * u, ξ = = Sf ( u, ) f ( t) g ( t) dt f ( t) g( t u) e dt u, ξ iξ t

10 Transformada de Fourier de tiempo Corto (STFT) STFT función de dos variables, gráfico en 3D Gráficos en escalas de colores, vistos desde arriba Se suele graficar el Espectrograma en lugar de la STFT, definido de la siguiente forma: 2 iξ t Psf ( u, ξ ) = Sf ( u, ξ ) = f ( t ) g ( t u ) e dt 2 Es una función de densidad de energía

11 Espectrograma de una señal de voz

12 Transformada de Fourier de tiempo Corto (STFT) En el caso discreto, tenemos las siguientes ecuaciones equivalentes : i2πln m, l [ ] = [ ] g n g n m e N = m, l = n= [, ] [ ], [ ] [ ] [ ] Sf m l f n g n f n g n m e N i2πln N 2 N [, ] [, ] [ ] [ ] Psf m l = Sf m l = f n g n m e n= i2πln N 2

13 Transformada de Fourier de tiempo Corto (STFT) 2 5 Sf(u,w) Tiempo Frecuencia

14 Transformada de Fourier de tiempo Corto (STFT) Frequency Time

15 Transformada de Fourier de tiempo Corto (STFT) Para la STFT son válidas las siguientes fórmulas de reconstrucción: f ( t) = Sf ( u, ξ ) g( t u) e iξ u dξdu 2 π N N f [ n] = Sf [ m, l] g [ n m] e N m= l= i2πln N

16 Diferentes ventanas - Transformada de Gabor Los ejemplos anteriores fueron generados a partir de una ventana g(t) cuadrada Otras ventanas: Hanning, Hamming, Blackman, etc. En el trabajo original de Gabor, la ventana usada era una Gaussiana, y a la STFT con esta ventana se le llama Transformada de Gabor en su honor. g ( t) = e gabor 8t 2 2

17 Ej.: Átomo tiempo-frecuencia Ventana Gaussiana tiempo (seg) 2 Transformada de Fourier de la ventana 5 Magnitud frecuencia (Hz)

18 Ej.: Átomo tiempo-frecuencia Senoidal de Hz tiempo (seg) 5 Transformada de Fourier de la senoidal 4 Magnitud frecuencia (Hz)

19 Ej.: Átomo tiempo-frecuencia Atomo tiempo frecuencia tiempo (seg) Transformada de Fourier del Atomo 8 Magnitud frecuencia (Hz)

20 Diferentes ventanas - Transformada de Gabor Hanning Hamming 4 4 Frequ uency 3 2 Frequ uency Time Blackman Time Bartlett 4 4 Frequency 3 2 Frequency Time Cuadrada Time Gabor 4 4 Frequency 3 2 Frequency Time Time

21 Principio de Incertidumbre - Resolución tiempo-frecuencia Las transiciones en el tiempo no se conocen con exactitud Mas resolución temporal: ventanas mas chicas, mayor cantidad de ventanas Soporte compacto : una ventana que permite concentrarse en una región determinada Pero, cómo se traduce esto en el dominio frecuencial? En los ejercicios de Fourier se vio que las funciones muy localizadas en el tiempo tendían a tener espectros deslocalizados

22 Resolución tiempo-frecuencia Ventana Gaussiana 5 Transformada de Fourier de la ventana Magnitud tiempo (seg) -2-2 frecuencia (Hz) Ventana Gaussiana 2 Transformada de Fourier de la ventana Magnitud tiempo (seg) -2-2 frecuencia (Hz)

23 Principio de Incertidumbre - Resolución tiempo-frecuencia Estas ideas aparecen expresadas en el principio de Incertidumbre de Heisemberg: La varianza temporal σ t y la varianza frecuencial σ ω de una 2 función f ( t) L satisface la siguiente inecuación ( ) σ σ t ω 2 (Recordar que la varianza mide el grado de dispersión de un proceso aleatorio con respecto a la media)

24 Principio de Incertidumbre - Resolución tiempo-frecuencia Dada una ventana g(t), la inecuación se convierte en igualdad Para cada valor de u y ξ, hay un rectángulo de incertidumbre de lados σ t y σ ω, con área de al menos /2. En la STFT la función g(t) permanece siempre igual (solo se desplaza en el tiempo) Resolución uniforme tanto en tiempo como en frecuencia

25 Localización Tiempo medio Frecuencia media 2 t m = t f ( t ) dt E f 2 ωm = ω F( ω) dω E f Varianza temporal σ t 4 π 2 2 = ( t tm ) f ( t ) dt E f Varianza frecuencial 4π 2 2 σ ω = ( ω ωm) F( ω) dω E f

26 (a) Dominio de la Frecuencia (b) Plano Tiempo-Frecuencia.8.8 Frecuencia.6.4 Frecuencia FFT(WaveletPacket(3,3,7)) Tiempo (c) Dominio del Tiempo Átomo Tiempo-Frecuencia Caso general Wavelet Packe et(3,3,7) Tiempo

27 Principio de Incertidumbre - Resolución tiempo-frecuencia

28 Principio de Incertidumbre - Resolución tiempo-frecuencia Caso discreto: Resolución temporal limitada por la longitud temporal de la ventana: t = T vent Resolución frecuencial está también limitada por ésta longitud: f = /T vent Por lo tanto tenemos: t f = No podemos mejorar una salvo que empeoremos la otra.

29 Principio de Incertidumbre - Resolución tiempo-frecuencia 4 Frecuencia Tiempo 4 Frecuencia Tiempo

30 Resolución

31 Redundancia de la STFT ξ * u, ξ = = iξ t Sf ( u, ) f ( t ) g ( t ) dt f ( t ) g ( t u ) e dt u varia continuamente parte de la información en una u siguiente habrá estado en la ventana de análisis anterior Esta propiedad de contener repetida la información se denomina redundancia Esto genera una representación sobrecompleta de la señal

32 Redundancia de la STFT N = m l, = n= [, ] [ ], [ ] [ ] [ ] Sf m, l f n, gm l n f n g n m e i2πln N Caso discreto, podemos manejar la redundancia, haciendo que el desplazamiento m en vez de ser cualquier entero, varíe de a saltos Si tomamos esos saltos iguales a la longitud temporal de la ventana, no existe redundancia Esto se puede evaluar contando el número de coeficientes de la representación. Si es mayor que los de la señal original, hay información repetida

33 Redundancia de la STFT

34 Ej.: Numero de teléfono Frequency Time

35 Ej.: Nota La Frequency Time

36 Ejemplos simples

37 Ejemplos simples

38 Ejemplos simples

39 Ejemplos simples

40 Ejemplos simples

41 Transformada Wavelet Una ondita (wavelet) es una función que tiene una duración limitada en el tiempo y tiene valor medio cero. Familias de onditas (Coifflets, Daubechies, Haar, etc) con propiedades que las hacen apropiadas para diversos procesamientos. A partir de una wavelet madre, se obtienen atomos tiempo-escala análisis por compresión y dilatación, y desplazamiento en el tiempo. Análisis similar al de la STFT, descomponiendo la señal en términos de éstos átomos.

42 Transformada Wavelet 2 Meyer Morlet Haar Daubechies Coifflets Symlets

43 Transformada Wavelet Wavelet Daubechies n 6 Espectro w (radianes)

44 Transformada Wavelet Wavelet Symlets n Espectro w (radianes)

45 Transformada Wavelet Continua (CWT) Una wavelet es una función con valor medio igual a cero, norma unitaria y centrada en la vecindad de : + 2 ( t) L ( ); ( t) dt = ; ( t) = ψ ψ ψ A partir de ésta, obtenemos por escalado y traslación el átomo tiempo-escala: t u u, s ( t) ψ = ψ s s La transformada Wavelet continua será: + (, ) ( ), ( ) ( ) * t u u, s s s ( ) Wf u s f t ψ t f t ψ dt = =

46 Onditas: escala y localización ψ t u u, s ( t) s ψ = s

47 Transformada Wavelet Continua

48 Transformada Wavelet Continua

49 Transformada Wavelet Continua

50 Transformada Wavelet Continua Symlets 8 Daubechies 8 scales a time (or space) b scales a time (or space) b Morlet Meyer scales a time (or space) b scales a time (or space) b

51 Transformada Wavelet Discreta (DWT) Para calcular la versión discreta, se evalúa en las escalas s=a j con a=2 /v, lo que hace que en cada intervalo [2 j,2 j+ ] haya v valores intermedios. La función wavelet resulta: n ψ j[ n] = ψ j j a a La Transformada wavelet discreta resulta entonces: N Wf [ n, a j ] = f [ m] ψ [ m n] m= Donde a j pertenece a [2N -,K - ] y K es el soporte de ψ (es distinta de en el intervalo [-K/2,K/2]) * j

52 Resolución También cumple con el principio de incertidumbre de Heisemberg La resolución no es uniforme en el plano t-f, Bajas frecuencias: mayor resolución frecuencial pero peor temporal Altas frecuencias la resolución temporal mejora, a costa de perder resolución frecuencial.

53 Resolución

54 Resolución

55 DWT: función de escala Para obtener una representación completa se necesita la información de bajas frecuencias correspondientes a las escalas mayores Esto se logra mediante una función de escala A partir de esta se obtienen las componentes de bajas frecuencias como: φ j [ n] n = φ j j a a N j Lf n, a = f m j m n = f [ n] j n m= [ ] * [ ] * φ φ [ ] φ ( t)

56 DWT: reconstrucción Con la descomposición con la función wavelet y la función de escala, se obtiene una representación completa La formula de reconstrucción es: J N loge a f n Wf m a j n m j C a [ ] e j =, ψ [ ] ψ j= m= N j + Lf m, a φ j j n m C a ψ m= [ ]

57 Función Wavelet y de Escala Scaling function phi Wavelet function psi Decom position low -pass filter Decom position high-pass filter Reconstruction low -pass filter Reconstruction high-pass filter

58 Transformada Wavelet Discreta Hasta aquí sólo se ha discretizado la escala Esto genera altisima redundancia Se suele tambien discretizar el dominio temporal Para esto la wavelet se modifica como sigue: j ψ n ka u [ ] j, k n ψ = j j a a Esto genera un muestreo en intervalos j a u

59 Transformada Wavelet Diádica (DDWT) Si se restringe el valor de a de manera que a=2, se obtiene la transformada Wavelet Diádica Esta transformada no se evalúa siguiendo la ecuación de la transformada discreta, sino que se utiliza un algoritmo basado en filtrado pasabajo con un filtro h y pasaaltos con un filtro g obtenidos la función de escala y de la wavelet madre respectivamente.

60 Algoritmo para la TW DDWT A partir de los filtros h y g se pueden verificar las siguientes ecuaciones: [ ] = [ ] [ ] a p h n p a n j+ 2 n= [ ] = [ 2 ] [ ] d p g n p a n j+ n= y para la reconstrucción j [ ] = [ 2 ] [ ] + [ 2 ] [ ] j j+ j+ n= n= j a p h p n a n g p n d n

61 Algoritmo para TW diádica

62 Cuadrícula tiempo-frecuencia Particion tiempo frecuencia de DWT hasta escala 4 < Frecuencia Tiempo

63 Ej.: Denoising sin(2*pi*5*t) rand(size(x)) x+y tiempo

64 Ej.: Denoising Transformada Discreta, coeficientes absolutos j=log2(s) (s=2 j ) Tiempo

65 Ej.: Denoising Umbralado con umbral. del maximo 6 5 j=log2(s) (s=2 j ) Tiempo

66 Ej.: Denoising 2 z reconstruida tiempo

67 Ej.: Denoising Umbralado con umbral.3 del maximo 6 5 j=log2(s) (s=2 j ) Tiempo

68 Ej.: Denoising 2.5 z reconstruida tiempo

69 Ej.: Denoising Umbralado con umbral.5 del maximo 6 5 j=log2(s) (s=2 j ) Tiempo

70 Ej.: Denoising 2.5 z reconstruida tiempo

71 Ej.: Denoising Umbralado con umbral.7 del maximo j=log2(s) (s=2 j ) Tiempo

72 Ej.: Denoising 2 z reconstruida tiempo

73 Ej.: Denoising Transformada Discreta, coeficientes absolutos j=log2(s) (s=2 j ) Tiempo

74 Transformada Wavelet Diádica

75 Comparación Discreta-Diádica 5 Discrete Transform, absolute coefficients. j=log2(s) (s=2 j ) scales a Tiempo Absolute Values of Ca,b Coefficients for a = time (or space) b

76 Comparación Discreta-Diádica.2 Analyzed signal Discrete Transform, absolute coefficients. j=log2(s) (s=2 j ) scales a Tiempo Absolute Values of Ca,b Coefficients for a = time (or space) b

77 Comparación Espectrograma DDWT

78 Aplicaciones Denoising Compresión Análisis multirresolución Reconocimiento del habla Detección de frecuencia instantánea Fractales Etc.

79 Cuadriculas tiempo-frecuencia Dirac f Fourier t STFT (banda ancha) STFT (banda angosta)

80 Cuadrículas tiempo-frecuencia WD f WP t

81 Ejemplos

82 Ejemplos

83 Ejemplos

84 Ejemplos

85 Ejemplos

86 Ejemplos

87 Distribución de Wigner-Ville Otra de las representaciones tiempofrecuencias clásicas para el análisis de señales Ventana: versión desplazada de la misma señal. Se analiza comparando la información de la señal con su propia información en otros instantes

88 Distribución de Wigner-Ville Se define como: τ ( ) * τ i Pv f u, ξ ξτ = f u f u e dτ Su versión discreta esta dada por: N p [ ] * p Pv f n, k = f n + f n e p= N 2 2 i2π kp N Como ésta requiere conocer los valores en muestras intermedias, se recurre a una interpolación en frecuencias agregando ceros entre cada muestra

89 Propiedades Preserva desplazamientos en el tiempo y en frecuencia (covarianza tiempo-frecuencia) Conserva el soporte Conserva la energía: E P f ( u, ξ ) dudξ Conserva las energías marginales f = 2 P ( u, ξ ) du = F( ξ ) v P ( u, ξ ) dξ = f ( u) v 2 v

90 Distribución de Wigner-Ville Frequency Time

91 Distribución de Wigner-Ville Desventaja: al ser cuadrática con respecto a f, si f= f+f2, aparecen términos de intereferencia: [, ] [, ] P f = P f + P f + P f f + P f f v v v 2 v 2 v 2 Donde [, ](, ) P h g u ξ = h u g * u e iξτ d v τ τ τ

92 Distribución de Wigner-Ville

93 Ej.: FM lineal.5 Distribucion de Wigner-Ville 6 Frecuncia norm malizada tiempo (muestras) Espectrograma 2 Frecuncia normalizad da tiempo (muestras)

94 Ej,: FM lineal.5 Distribucion de Wigner-Ville 6 Frecuncia norm malizada tiempo (muestras) Espectrograma Frecuncia normalizad da tiempo (muestras)

95 Ej.: FM lineal.5 Distribucion de Wigner-Ville 6 Frecuncia norm malizada tiempo (muestras) Espectrograma Frecuncia normalizad da tiempo (muestras)

96 Ej.: FM lineal.5 Distribucion de Wigner-Ville 6 Frecuncia norm malizada tiempo (muestras) Espectrograma Frecuncia normalizad da tiempo (muestras)

97 Clases de Cohen Una familia de distribuciones cuadráticas tiempo-frecuencia Cumplen con covarianza tiempo-frecuencia Dadas por: 2 ( ) ( ) ( ) 2 (, ; ) i πξ s t C (, ) 2 2 i π v τ f t v h = e h f s + f s e d dsd ξ τ τ τ ξ τ donde h se denomina función de parametrización

98 Clases de Cohen La ecuación anterior se puede escribir: C ( t, v; Π ) = Π( t s, v ξ ) P f ( s, ξ ) dsdξ f donde i2 π ( vτ + ξt) t v = h ξ τ e dtdv Π (, ) = (, ) Esta puede verse como un promediado con el kernel de promedación dado por Π v

99 Clases de Cohen Usando un kernel particular, se obtiene el ESPECTROGRAMA: P f ( t, v) = P g( s t, ξ v) P f ( s, ξ ) dsdξ s v v Con otras formas de kernel de promediación se obtienen otras distribuciones utilizadas. Estas promediaciones logran reducir o incluso anular los términos de interferencia

100 Distribución de Choi-Williams Una clase de distribuciones se obtiene si el kernel es de la forma: La distribución de Choi-Williams se obtiene a partir del kernel: h( ξ, τ ) = Φ( ξτ ) ξ τ h(, ) = e ( πξτ ) 2 2σ 2

101 Kernel de Choi-Williams

102 Bibliografía recomendada S. Mallat, A wavelet tour of signal processing, Academic Press, 999, Cap. 4 G. Strang y T.Nguyen, Wavelets and Filter Banks, Wellesley-Cambridge Press, Secciones 2.4 a 2.6 Documentación del toolbox Wavelab de Matlab