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Distancia de un Punto a una Recta

Desarrollo de la Propuesta

Iniciamos este trabajo recordando la manera de hallar la distancia entre dos puntos $P\left( x_{0},y_{0}\right)$ y $Q\left( x_{1},y_{1}\right)$ en un sistema de coordenadas rectangulares. Consideremos los puntos y

Nos interesa encontrar la longitud . Por el teorema de Pitágoras es fácilmente observable en la figura 1 que:

El problema que nos interesa resolver, consiste en encontrar la distancia de un punto dado del plano cartesiano a una recta. Para ello consideremos un punto del plano, de coordenadas $\left( x_{0},y_{0}\right)$ y la recta de ecuación asociada . Debemos encontrar la distancia de a la recta , por definición dicha distancia corresponde a la longitud del segmento perpendicular a con extremo Obsérvese la siguiente figura:

Si conociéramos las coordenadas de nuestro problema quedaría completamente resuelto, pues correspondería a la distancia entre y que la podemos determinar mediante la expresión $\left( 1\right) .$ Hallemos estas coordenadas.

Supongamos que es de coordenadas $\left( x_{1},y_{1}\right) ,$ de acuerdo a la figura 2 se puede concluir que $Q,P\in L_{1},$ hallemos la ecuación asociada a esta recta.

Pendiente de $L_{1}$

La ecuación de

corresponde a

como $L\perp L_{1}$ tenemos que:

$\displaystyle m\cdot m_{1}=-1\;\Longrightarrow\; m_{1}=\frac{-1}{m}$

Intersección con el eje de las ordenadas

Como $P\in L_{1}$ se tiene que:

$\displaystyle b_{1}=y_{0}-m_{1}x_{0}=y_{0}+\frac{x_{0}}{m}$

finalmente la ecuación asociada a $L_{1}$ es:

$\displaystyle y=-\frac{x}{m}+y_{0}+\frac{x_{0}}{m}=\dfrac{-x+my_{0}+x_{0}}{m}$

Como es un punto tanto de como de $L_{1},$ sus coordenadas satisfacen las ecuaciones asociadas a ambas rectas, de donde:

$\displaystyle y_{1}=mx_{1}+b\qquad\wedge\qquad y_{1}=\dfrac{-x_{1}+my_{0}+x_{0}}{m}$

entonces

$\begin{displaymath} \begin{array}[c]{rcl} \dfrac{-x_{1}+my_{0}+x_{0}}{m}&=&mx_{1... ...: }y_{1}&=&\dfrac{m^{2}y_{0}+mx_{0}+b}{m^{2}+1}\\ \end{array}\end{displaymath}$

Quedando de esta forma determinadas las coordenadas de Luego, por $\left( 1\right)$ la distancia viene dada por:

$\begin{displaymath}%% \begin{array}[c]{rcl}%% d&=&\sqrt{\left( x_{0}-\dfrac{m\le... ...\left\vert \triangle \right\vert \sqrt{m^{2}+1}\\ \end{array}\end{displaymath}$

donde $\,\triangle=\dfrac{y_{0}-mx_{0}-b}{m^{2} +1}=\dfrac{y_{0}-y\left( x_{0}\right) }{m^{2}+1}\;\,$ y $\,y\left(x_{0}\right)\,$ representa la ecuación de la recta $\,L\,$ evaluada en $\,x_{0}.\,$

En conclusión, la distancia del punto de coordenadas $\left( x_{0},y_{0}\right)$ a la recta de ecuación asociada , corresponde a:

$\displaystyle d=\left\vert \triangle\right\vert \sqrt{m^{2}+1}$ con: $\displaystyle \triangle=\dfrac {y_{0}-y\left( x_{0}\right) }{m^{2}+1}$

El resultado clásico que aparece en los libros de álgebra lineal para resolver este problema, establece que:

$\displaystyle d=\frac{\left\vert Ax_{0}+By_{0}+C\right\vert }{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$

con la ecuación general de la recta.

Note que ambos resultados son equivalentes y no conducen a ningún tipo de contradicción, pues cualquiera de ellos se puede inferir del otro.

Lo importante de la demostración que hemos explicado, es que no requiere de ningún conocimiento de álgebra lineal para su desarrollo, por el contrario, únicamente se fundamenta en algunos conceptos de matemática básica.

Ejemplos de Aplicación

Determine la distancia del punto de coordenadas $\left( -2,1\right)$ a la recta de ecuación asociada

Solución

$5y+3x=1\;\Longrightarrow\; y=-\frac{3}{5}x+\frac{1}{5}$
Luego:
$\displaystyle \triangle=\displaystyle{\frac{1-\left( -\displaystyle{\frac{3}{5}... ...c{1}{5}}\right) }{\displaystyle{\frac{9}{25}}+1}}=-\displaystyle{\frac{5}{17}}$

Finalmente:
$\displaystyle d=\left\vert -\displaystyle{\frac{5}{17}}\right\vert \sqrt{\displaystyle{\frac{34}{25}}}=\displaystyle{\frac{\sqrt{34}}{17}}$
Halle la distancia entre las rectas paralelas:
$\begin{displaymath}%% \begin{array}[c]{c}%% L_{1}:y=2x-1\\ L_{2}:y=2x+4 \end{array}\end{displaymath}$

Solución

Por definición, esta distancia corresponde a la longitud del segmento perpendicular de un punto cualquiera de ellas a la otra recta. De esta forma, hallemos las coordenadas de un punto de $L_{1}$ y posteriormente calculemos la distancia de a $L_{2}$ .
Para en $L_{1}$ se obtiene $P=\left( 0,-1\right)$ , luego:
$\displaystyle \triangle=\displaystyle{\frac{1-4}{5}}=-1$
En consecuencia:
$\displaystyle d=\left\vert -1\right\vert \sqrt{5}=\sqrt{5}$
Determine las coordenadas de un punto  cuya distancia a la recta  de ecuación asociada $y=\displaystyle{\frac{x-7}{2}}$ corresponde a  y represente geométricamente el conjunto de todos los puntos del plano que satisfacen esta condición.

Solución

Sea $P=\left( x,y\right)$ entonces:
$\begin{displaymath}%% \begin{array}[c]{rclcl}%% \left\vert \triangle\right\vert ... ...vert 2y-x+7\right\vert &=&4\sqrt{5}\\ & & & &\\ \end{array}\end{displaymath}$

de donde $\,-x+2y\,=\,4\sqrt{5}-7 \; \; \vee \;\; -x+2y\,=\,-4\sqrt{5}-7.\,$

Ambas ecuaciones representan las ecuaciones asociadas a dos rectas paralelas que llamaremos $L_{1}$ y $L_{2}$ respectivamente, cualquier punto de las rectas es una solución. Si en la ecuación de $L_{1}$   entonces $y=2\sqrt{5}-\frac{7}{2}$ y el punto $P=\left( 0,2\sqrt{5}-\frac{7}%% {2}\right)$ satisface la condición deseada. Geométricamente las rectas paralelas $L_{1}$ y $L_{2},$ y la recta , vienen dadas por la siguiente figura:

La recta de color azul corresponde a $L_{1}$ , la de color negro a  y la de color verde a $L_{2}.$