Cuando Cristóbal Colón llegó a América, en 1492, estaba convencido de que había llegado a la parte oriental de la India. Este convencimiento le llevaba, “después de todo”, a confirmar que el valor de la circunferencia de la Tierra era de unos 29.000 km, como ya había establecido Claudio Ptolomeo en el siglo II d.C. Después de todo porque para conseguir la financiación del viaje, Colón tuvo que defender este valor ante las opiniones contrarias de los frailes consejeros de la reina Isabel la Católica, más propensos a aumentar dicha distancia; tuvo que realizar estimaciones propias que, manipuladas convenientemente o no, se acercaban al valor dado por Ptolomeo y, por último, tuvo que confiar en que el valor de la circunferencia terrestre de Eratóstenes, de unos 39.000 km, no fuese cierto ya que un hipotético viaje de 6.000 km pasaría a ser de 20.000 km, imposible de realizar en los barcos de la época y, desde luego, no financiable. Hoy sabemos que Colón se encontró con un continente nuevo, que la circunferencia polar, es decir, la longitud del meridiano que pasa por los polos terrestres, es de 39.942 km, y la circunferencia ecuatorial, o sea, la longitud del ecuador, es de 40.074 km (la Tierra está achatada muy levemente, apenas un 0’33 %). También sabemos que la mejor medida del meridiano en la antigüedad data del 235 a. C. (hace 2.400 años) y la llevó a cabo Eratóstenes de Cirene que se acercó, como veremos, al valor real con un error del 1’5 %. Sin embargo, atendiendo al tamaño de la parte conocida de la Tierra, los antiguos tomaron este número como demasiado grande. Unos 135 años después otro astrónomo griego, Posidonio de Apamea, intentó repetir el trabajo de Eratóstenes con algunas mejoras en la técnica utilizada y llegó a la conclusión de que la Tierra tenía una circunferencia de 29.000 km. Esta cifra fue aceptada por Ptolomeo como más exacta que la de Eratóstenes. Dada la autoridad de Ptolomeo en la ciencia antigua, esta cifra ha permanecido en todas las escuelas de astronomía hasta los comienzos de la Edad Moderna. Eratóstenes era de Cirene (actual Shahhat en la costa de Libia), nació hacia el 276 a.C. en una familia rica que le permitió tener una buena educación en Atenas y desarrollar su carrera en Alejandría (en la desembocadura del Nilo, en Egipto). Probablemente fue en Alejandría donde conoció a Arquímedes del que se hizo amigo y admirador. Fue historiador y filósofo, además de geógrafo y astrónomo. Sobresalió y exhibió sus talentos en todas estos campos del saber si bien recibió el apodo de “beta”, segunda letra del alfabeto griego, pues ocupó varias veces el segundo puesto en estas disciplinas. Seguramente, esta gran capacidad hacía de Eratóstenes la persona ideal para ser el tercer director de la Biblioteca de Alejandría, el mayor centro científico y cultural del mundo antiguo. Si hacemos un repaso de los logros de Eratóstenes vemos que en matemáticas descubrió un sistema de determinación de números primos conocido como la “criba de Eratóstenes”. En geografía hizo un mapa del mundo entonces conocido, desde las islas Británicas hasta Ceilán y desde Etiopía hasta el mar Caspio. En astronomía se le atribuye la invención de la esfera armilar con la que calculó un valor casi exacto del ángulo del eje de la Tierra con el plano que forma ésta en su, por entonces, supuesto movimiento alrededor del Sol: esto representó la determinación de la “oblicuidad de la eclíptica”. Sin embargo, la determinación del tamaño de la Tierra fue lo que más fama ha dado a Eratóstenes, sobre todo desde que se descubrió la exactitud de dicha medida. Eratóstenes murió hacia el año 196 a.C., con unos ochenta años, por inanición voluntaria al verse ciego y desvalido. Para determinar la circunferencia de la Tierra Eratóstenes tuvo que partir de una suposición: el Sol se encuentra a una gran distancia de la Tierra que, por otra parte, es redonda. Hoy día esto no es una suposición ya que sabemos que, de hecho es así. Eratóstenes conocía bien las consecuencias de esta suposición de partida: los rayos del Sol inciden de forma paralela sobre toda la Tierra, y por tanto, la sombra que da una vara recta y vertical difiere en longitud dependiendo del punto de la Tierra donde se encuentre. También conocía, de hecho lo midió, que el eje de la Tierra está inclinado 23’5º respecto del plano que forman los rayos solares y que sólo hay unos pocos lugares donde dichos rayos inciden perpendicularmente , es decir, la vara no hace sombra alguna cuando el Sol se encuentra en el punto más alto del cielo el mediodía del solsticio de verano (21 de junio). Hoy sabemos que dichos lugares están situados, hablando del hemisferio norte, en el llamado trópico de Cáncer (figura nº 1). |
Imaginemos a Eratóstenes el 21 de junio en Alejandría, con una vara de longitud conocida, midiendo el ángulo con que caen los rayos del Sol gracias a la sombra que la vara deja cuando está vertical sobre la superficie terrestre. Eratóstenes obtuvo un valor de 7’2º para la inclinación de dichos rayos en Alejandría. Una vez realizada la medida pensaría que si fuera capaz de viajar hacia el sur sin desviarse, en línea recta, podría encontrar otro lugar donde el 21 de junio la misma vara a mediodía no hiciera sombra. Si encontrara ese lugar y midiera la distancia recorrida, ¡podría conocer el tamaño de la Tierra!. Pero Eratóstenes no tuvo que moverse de Alejandría. Tenía noticias de un hecho peculiar que tenía lugar todos los años en una ciudad llamada Siena que hoy día se conoce como Asuán. En esta ciudad, situada más al sur de Alejandría y a las orillas del Nilo, sucedía que cuando era mediodía de cierto día del año el agua de los pozos reflejaba como un espejo la luz del Sol, además de que las columnas y los obeliscos no producían sombra. Como tal día presagiaba el verano, en Siena se hacían sonadas y famosas fiestas conocidas hasta en Alejandría. Por lo que se ha dicho anteriormente podemos inferir que Siena se debe encontrar muy cerca del trópico de Cáncer. Además se debe encontrar prácticamente en el mismo meridiano que Alejandría (el viaje en línea recta que “pensaba” Eratóstenes) lo cual permite que el mediodía sea simultáneo en ambas localidades. Pero, ¿cómo pudo saber Eratóstenes que Siena se encontraba prácticamente en línea recta hacia el sur de Alejandría?, es más, ¿cómo midió la distancia entre Siena y Alejandría?. En primer lugar Eratóstenes, como buen geógrafo que era, sabía que el Nilo transcurre prácticamente recto desde el nacimiento hasta la desembocadura. Si Siena esta asentada en las orillas del Nilo y Alejandría también, ¡las dos ciudades deberían estar prácticamente en la línea recta de dirección Norte-Sur!. En segundo lugar “quedaba” medir la distancia entre ambas ciudades. Lo hizo pagando de su propio dinero a los jefes de las caravanas que comerciaban entre ambas ciudades para que durante el viaje midieran los pasos, o para que extendieran largas cuerdas a lo largo de todo el camino, o para que contaran las vueltas que daban las ruedas de los carros, etc... La distancia estimada fue de 5.000 estadios, unidad de longitud utilizada por entonces. Si hoy sabemos que un estadio equivale a 157’5 m, la distancia considerada sería de 787’5 km. Una vez establecido el fundamento del experimento y realizadas las medidas necesarias sólo queda el cálculo. La situación viene reflejada en la figura nº 2. |
Al ser los rayos del Sol paralelos los ángulos representados en la figura deben ser iguales, por tanto, con una simple regla de tres se puede establecer que si 7’2º de circunferencia se corresponden con la distancia entre Alejandría y Siena, 787’5 km, entonces una circunferencia completa de 360º corresponden a |  | (1) | |
Si, una vez conocido el ángulo a, queremos calcular el radio de la Tierra en lugar de su circunferencia: |  | (2) | |
expresión en la que el ángulo debe ir en radianes, luego |  | (3) | |
como podemos ver, las expresiones (1) y (3) son idénticas ya que el producto 2πr es precisamente la longitud de la circunferencia. Si damos a π un valor de 3’14, valor ya conocido en la época por Arquímedes y, por ende dada la amistad entre ambos, por Eratóstenes obtenemos  El error en la determinación de la circunferencia es sólo del 1’5 % ¡para una medida hecha hace 2.400 años!. Es un error pequeño para las condiciones de medida de la época. En primer lugar la distancia entre Siena y Alejandría es de 843 km y además ambas ciudades no están situadas exactamente en el mismo meridiano ya que difieren unos 3º de longitud. Por otra parte, Siena no está en el trópico de Cáncer sino unos 70 km más al norte y, además, el ángulo que forma la sombra y la vara en Alejandría es de 7’08º en lugar de los 7’2º que midió Eratóstenes. Pero seguramente estos errores y otros que pudiera cometer en el experimento se compensaron unos con otros y dieron lugar a un valor casi exacto. Existen modificaciones de la técnica seguida por Eratóstenes. Como hemos dicho anteriormente, Posidonio de Apamea llevó a cabo una de ellas en el siglo I a.C. Las ciudades que Posidonio consideró en el mismo meridiano son Rodas y Alejandría (la desviación es de sólo 1’7º de longitud). En su media intervenía la estrella Canopus (α-Carinae). Cuando la estrella se ve en el horizonte de Rodas, en Alejandría, que está más al sur, se elevará un cierto ángulo sobre el horizonte. Una vez determinado este ángulo se puede calcular la circunferencia de la Tierra si se conoce la distancia entre Rodas y Alejandría (figura nº 3). |
El ángulo medido por Posidono era de 7’5º y la distancia que consideró que había entre Rodas y Alejandría era de 5000 estadios (curiosamente es la misma distancia que Eratóstenes tomó entre Alejandría y Siena). Con estos datos la circunferencia de la Tierra determinada por Posidonio sería de 37.800 km, resultado que no se aleja demasiado del valor calculado por Eratóstenes. Sin embargo este resultado es consecuencia de nuevo de una serie de errores que se compensan: los 7’5º deberían ser en realidad 5’25º, mientras que la distancia entre Rodas y Alejandría no sobrepasa los 3.800 estadios (605 km). Después, en el siglo II d.C., Ptolomeo anotó que, según los escritos de Kleomedes, Posidonio utilizó una medida más exacta de la distancia entre Rodas y Alejandría de 3.750 estadios aunque mantuvo el ángulo de 7’5º para así obtener una circunferencia de 28.350 km. Esta cifra fue aceptada por Ptolomeo pues se acercaba más a sus propias y erróneas medidas. Hay autores, sin embargo, que consideran que la atribución a Posidonio de este valor inexacto y pequeño de la circunferencia de la Tierra es infundado. En cualquier caso, es evidente que las suposiciones iniciales de Posidonio fueron peores que las de Eratóstenes llevándole a un valor menor de la circunferencia terrestre. Animo al lector a que realice, siguiendo el procedimiento de Eratóstenes, sus propias medidas para calcular la circunferencia de la Tierra. Es una experiencia sencilla que los estudiantes de secundaria deberían realizar alguna vez. Necesita una vara recta no muy larga (un metro y medio viene bien) que debe dejar clavada verticalmente en un sitio llano. Para conseguirlo debe ayudarse de una buena plomada. Cuando llegue el mediodía solar del 21 de junio coja una cuerda fina y una con ella el extremo superior de la vara y el extremo de la sombra que ésta proyecta. Ya puede medir, con la ayuda de un transportador de ángulos, el ángulo que forma la vara vertical y la cuerda; se trata del ángulo con que caen los rayos del Sol. A continuación necesita saber la distancia en línea recta entre la localidad donde se encuentre y el trópico de Cáncer. Con la ayuda de un buen mapa puede conseguirlo fácilmente; en el caso de que se encuentre en Villanueva del Arzobispo (Jaén) le puedo ahorrar esta determinación ya que está a 1.638 km del trópico. Con estos datos puede realizar la siguiente operación: multiplique la distancia al trópico de Cáncer por 360 y divida el resultado obtenido entre el ángulo anteriormente medido. Hay otro procedimiento que permite determinar el ángulo con que caen los rayos del Sol sin necesidad de utilizar una cuerda y un transportador de ángulos. Consiste en determinar la tangente de dicho ángulo. Para ello hay que medir la longitud de la sombra y la longitud del palo utilizando en ambas medias las mismas unidades de longitud (figura nº 4). |
Así: | 
| (4) | |
El ángulo deseado será el arco cuya tangente es el cociente anterior, 
Para finalizar, otra variante que no requiera conocer la distancia al trópico de Cáncer y que se pueda realizar cualquier día del año. Lo primero que hay que hacer es elegir un pueblo o ciudad que diste varios cientos de kilómetros de la nuestra y que esté rigurosamente en el mismo meridiano. De nuevo, en el caso de que se encuentre en Villanueva del Arzobispo (Jaén) se podría elegir, por ejemplo, Guadalajara, situada a 275 km, o a Burgo de Osma, situado a 382 km, o a Portugalete, situado a 572 km. Si se prefiere viajar hacia el sur, desde Villanueva del Arzobispo hasta Adra hay 159 km. Melilla sería otra buena opción ya que sólo se desvía 0’5º en longitud y está situada a 320 km. Lo ideal sería medir el mismo día y a la misma hora en los dos lugares la longitud de sendas varas o palos verticales situados sobre un lugar plano, así como las sombras que dichas varas proyectan a dicha hora. Las dos varas no tienen por qué tener exactamente la misma longitud pero deben estar perfectamente verticales. La dificultad de medir el mismo día a la misma hora se puede solventar de varias formas: las medidas de cada lugar pueden ser realizadas por personas diferentes que están en contacto, o también las puede realizar la misma persona sin cometer un error apreciable siempre que la diferencia máxima entre las dos medidas sea sólo de 24 horas exactas, o si hay paciencia, puede esperar un año justo entre ambas medidas. Una vez realizadas las medidas se puede proceder al cálculo de la circunferencia de la Tierra. El esquema de trabajo viene representado en la figura nº 5, en la que el subíndice 1 hace referencia a la localidad situada más al sur y el subíndice 2 a la situada más al norte. Las tangentes de los ángulos α1 y α2 pueden calcularse por los cocientes entre las longitudes de las sombras respectivas (s1 y s2) y las longitudes de las barras correspondientes (l1 y l2) |  
| (5) | |
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Una vez determinados los ángulos α1 y α2 (calculando los respectivos arcos cuyas tangentes son los cocientes anteriores), podemos ver en la figura nº 5 que los ángulos α2 y α3 son iguales ya que los rayos del Sol inciden paralelos. Por otra parte, el ángulo α4 debe ser igual al resultado de restar α3 al ángulo llano, es decir: | 
| (6) | |
Por tanto, como todos los ángulos de un triángulo deben sumar 180º, el triángulo OAB queda resuelto | 
| (7) | |
teniendo en cuenta (6) | 
| (8) | |
de donde | 
| (9) | |
Una vez calculado α, y conociendo la distancia L entre las dos localidades, podemos calcular la circunferencia de la Tierra estableciendo la proporción correspondiente: si el ángulo α de la circunferencia equivale a la distancia L, entonces 360º (una circunferencia completa) equivalen a | 
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¡Suerte con sus medidas! Felipe Moreno Romero fresenius1@gmail.com |
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