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Números de Bernoulli $B \pm n$
$norte$	fracción	decimal
0	1	+1.000000000
1	±1/2	± 0.500000000
2	1/6	+0.166666666
3	0	+0,000000000
4	- 1/30	−0,033333333
5	0	+0,000000000
6	1/42	+0.023809523
7	0	+0,000000000
8	- 1/30	−0,033333333
9	0	+0,000000000
10	5/66	+0.075757575
11	0	+0,000000000
12	- 691/2730	−0,253113553
13	0	+0,000000000
14	7/6	+1.166666666
15	0	+0,000000000
dieciséis	- 3617/510	−7,092156862
17	0	+0,000000000
18	43867/798	+54.97117794
19	0	+0,000000000
20	- 174611/330	−529.1242424

En matemáticas , los números de Bernoulli $B n$ son una secuencia de números racionales que ocurren con frecuencia en la teoría de números . Los números de Bernoulli aparecen en (y pueden definirse mediante) las expansiones de la serie de Taylor de las funciones tangente e hiperbólica tangente , en la fórmula de Faulhaber para la suma de m -ésimas potencias de los primeros n enteros positivos, en la fórmula de Euler-Maclaurin , y en expresiones para ciertos valores de la función zeta de Riemann .

Los valores de los primeros 20 números de Bernoulli se dan en la tabla adyacente. En la literatura se utilizan dos convenciones, denotadas aquí por ${\ Displaystyle B_ {n} ^ {- {}}}$ y ${\ Displaystyle B_ {n} ^ {+ {}}}$ ; difieren solo para $n = 1$ , donde ${\ Displaystyle B_ {1} ^ {- {}} = - 1/2}$ y ${\ Displaystyle B_ {1} ^ {+ {}} = + 1/2}$ . Para cada $n$ impar $> 1$ , $B n = 0$ . Para cada $n$ par $> 0$ , $B n$ es negativo si $n$ es divisible por 4 y positivo en caso contrario. Los números de Bernoulli son valores especiales de los polinomios de Bernoulli $B_ {n} (x)$ , con ${\ Displaystyle B_ {n} ^ {- {}} = B_ {n} (0)}$ y ${\ Displaystyle B_ {n} ^ {+} = B_ {n} (1)}$ . ^[1]

Los números de Bernoulli fueron descubiertos casi al mismo tiempo por el matemático suizo Jacob Bernoulli , de quien fueron nombrados, e independientemente por el matemático japonés Seki Takakazu . El descubrimiento de Seki fue publicado póstumamente en 1712 ^[2]^[3] en su obra Katsuyō Sanpō ; Bernoulli, también póstumamente, en su Ars Conjectandi de 1713. La nota G de Ada Lovelace sobre la máquina analítica de 1842 describe un algoritmo para generar números de Bernoulli con la máquina de Babbage . ^[4] Como resultado, los números de Bernoulli tienen la distinción de ser el tema del primer programa informático complejo publicado .

Notación

El superíndice $\pm$ utilizado en este artículo distingue las dos convenciones de signos para los números de Bernoulli. Solo el término $n = 1$ se ve afectado:

$B - n$ con $B - 1 = - 1 / 2$ ( OEIS : A027641 / OEIS : A027642 ) es la convención de signos prescrita por el NIST y la mayoría de los libros de texto modernos. ^[5]
$B + n$ con $B + 1 = + 1 / 2$ ( OEIS : A164555 / OEIS : A027642 ) se utiliza a veces en la literatura más antigua. ^[1]

En las fórmulas siguientes, se puede cambiar de una convención de signos a otra con la relación $B_{n}^{+}=(-1)^{n}B_{n}^{-}$ , o para un número entero $n$ = 2 o mayor, simplemente ignórelo.

Dado que $B n = 0$ para todos los $n$ impares $> 1$ , y muchas fórmulas solo involucran números de Bernoulli de índice par, algunos autores escriben " $B n$ " en lugar de $B 2 n$ . Este artículo no sigue esa notación.

Historia

Historia temprana

Los números de Bernoulli tienen sus raíces en la historia temprana del cálculo de sumas de potencias enteras, que han sido de interés para los matemáticos desde la antigüedad.

Una página de Katsuyō Sanpō de Seki Takakazu (1712), tabulando coeficientes binomiales y números de Bernoulli

Se conocían métodos para calcular la suma de los primeros $n$ enteros positivos, la suma de los cuadrados y de los cubos de los primeros $n$ enteros positivos, pero no existían 'fórmulas' reales, solo descripciones dadas enteramente en palabras. Entre los grandes matemáticos de la antigüedad que consideraron este problema se encontraban Pitágoras (c. 572-497 a. C., Grecia), Arquímedes (287-212 a. C., Italia), Aryabhata (n. 476, India), Abu Bakr al-Karaji (m. 1019, Persia) y Abu Ali al-Hasan ibn al-Hasan ibn al-Haytham (965-1039, Iraq).

Durante finales del siglo XVI y principios del XVII, los matemáticos lograron avances significativos. En el oeste, Thomas Harriot (1560–1621) de Inglaterra, Johann Faulhaber (1580–1635) de Alemania, Pierre de Fermat (1601–1665) y su colega matemático francés Blaise Pascal (1623–1662) jugaron papeles importantes.

Thomas Harriot parece haber sido el primero en derivar y escribir fórmulas para sumas de potencias usando notación simbólica, pero incluso él calculó solo hasta la suma de las cuartas potencias. Johann Faulhaber dio fórmulas para sumas de poderes hasta el decimoséptimo poder en su Academia Álgebrae de 1631 , mucho más alto que nadie antes que él, pero no dio una fórmula general.

Blaise Pascal en 1654 probó la identidad de Pascal relacionando las sumas de las $p-$ ésimas potencias de los primeros $n$ enteros positivos para $p = 0, 1, 2,\dots, k$ .

El matemático suizo Jakob Bernoulli (1654-1705) fue el primero en darse cuenta de la existencia de una única secuencia de constantes $B 0, B 1, B 2,\dots$ que proporcionan una fórmula uniforme para todas las sumas de potencias. ^[6]

La alegría que experimentó Bernoulli cuando encontró el patrón necesario para calcular rápida y fácilmente los coeficientes de su fórmula para la suma de las potencias $c$ para cualquier entero positivo $c$ se puede ver en su comentario. El escribio:

"Con la ayuda de esta tabla, me tomó menos de medio cuarto de hora encontrar que las décimas potencias de los primeros 1000 números que se suman dan como resultado la suma 91,409,924,241,424,243,424,241,924,242,500".

El resultado de Bernoulli se publicó póstumamente en Ars Conjectandi en 1713. Seki Takakazu descubrió de forma independiente los números de Bernoulli y su resultado se publicó un año antes, también póstumamente, en 1712. ^[2] Sin embargo, Seki no presentó su método como una fórmula basada en un secuencia de constantes.

La fórmula de Bernoulli para sumas de poderes es la formulación más útil y generalizable hasta la fecha. Los coeficientes en la fórmula de Bernoulli ahora se llaman números de Bernoulli, siguiendo una sugerencia de Abraham de Moivre .

La fórmula de Bernoulli a veces se llama fórmula de Faulhaber en honor a Johann Faulhaber, quien encontró formas notables de calcular la suma de potencias, pero nunca declaró la fórmula de Bernoulli. Según Knuth ^[6], Carl Jacobi publicó por primera vez una prueba rigurosa de la fórmula de Faulhaber en 1834. ^[7] El estudio en profundidad de Knuth de la fórmula de Faulhaber concluye (la notación no estándar en el LHS se explica más adelante):

"Faulhaber nunca descubrió los números de Bernoulli; es decir, nunca se dio cuenta de que una sola secuencia de constantes

B 0, B 1, B 2,

... proporcionaría una

\quad \sum n^{m}={\frac {1}{m+1}}\left(B_{0}n^{m+1}+{\binom {m+1}{1}}B_{1}^{+}n^{m}+{\binom {m+1}{2}}B_{2}n^{m-1}+\cdots +{\binom {m+1}{m}}B_{m}n\right)

o

\quad \sum n^{m}={\frac {1}{m+1}}\left(B_{0}n^{m+1}-{\binom {m+1}{1}}B_{1}^{-{}}n^{m}+{\binom {m+1}{2}}B_{2}n^{m-1}-\cdots +(-1)^{m}{\binom {m+1}{m}}B_{m}n\right)

para todas las sumas de poderes. Nunca mencionó, por ejemplo, el hecho de que casi la mitad de los coeficientes resultaron ser cero después de haber convertido sus fórmulas para

\sum n m

de polinomios en $N$ a polinomios en $n$ ". ^[8]

Reconstrucción de "Summae Potestatum"

"Summae Potestatum" de Jakob Bernoulli, 1713 ^[a]

Los números de Bernoulli OEIS : A164555 (n) / OEIS : A027642 (n) fueron introducidos por Jakob Bernoulli en el libro Ars Conjectandi publicado póstumamente en 1713 página 97. La fórmula principal puede verse en la segunda mitad del facsímil correspondiente. Los coeficientes constantes denotados por $A$ , $B$ , $C$ y $D$ por Bernoulli se asignan a la notación que ahora prevalece como $A = B 2$ , $B = B 4$ , $C = B 6$ , $D = B 8$ . La expresión $c \cdot c -1 \cdot c -2 \cdot c -3$ significa $c \cdot (c -1) \cdot (c -2) \cdot (c -3)$ - los puntos pequeños se utilizan como símbolos de agrupación. Usando la terminología actual, estas expresiones son potencias factoriales decrecientes $c k$ . La notación factorial $k!$ como atajo para $1 \times 2 \times\dots \times k$ no se introdujo hasta 100 años después. El símbolo integral en el lado izquierdo se remonta a Gottfried Wilhelm Leibniz en 1675, quien lo usó como una letra $S$ larga para "summa" (suma). ^[b] La letra $n$ en el lado izquierdo no es un índice de suma, pero da el límite superior del rango de suma que debe entenderse como $1, 2,\dots, n$ . Poniendo las cosas juntas, para $c$ positivo , hoy en día es probable que un matemático escriba la fórmula de Bernoulli como:

\sum _{k=1}^{n}k^{c}={\frac {n^{c+1}}{c+1}}+{\frac {1}{2}}n^{c}+\sum _{k=2}^{c}{\frac {B_{k}}{k!}}c^{\underline {k-1}}n^{c-k+1}.

Esta fórmula sugiere establecer $B 1 = 1 / 2$ al cambiar de la denominada enumeración 'arcaica' que usa solo los índices pares 2, 4, 6 ... a la forma moderna (más sobre diferentes convenciones en el siguiente párrafo). Lo más sorprendente en este contexto es el hecho de que el factorial descendente $c k -1$ tiene para $k = 0$ el valor $1 / c + 1$ . ^[9] Así, la fórmula de Bernoulli se puede escribir

\sum _{k=1}^{n}k^{c}=\sum _{k=0}^{c}{\frac {B_{k}}{k!}}c^{\underline {k-1}}n^{c-k+1}

si $B 1 = 1/2$ , recuperando el valor que Bernoulli le dio al coeficiente en esa posición.

La fórmula para $\textstyle \sum _{k=1}^{n}k^{9}$ en la primera mitad contiene un error en el último término; debería ser $-{\tfrac {3}{20}}n^{2}$ en vez de $-{\tfrac {1}{12}}n^{2}$ .

Definiciones

Se han encontrado muchas caracterizaciones de los números de Bernoulli en los últimos 300 años, y cada una podría usarse para introducir estos números. Aquí solo se mencionan tres de los más útiles:

una ecuación recursiva,
una fórmula explícita,
una función generadora.

Para la prueba de la equivalencia de los tres enfoques. ^[10]

Definición recursiva

Los números de Bernoulli obedecen a las fórmulas de suma ^[1]

{\begin{aligned}\sum _{k=0}^{m}{\binom {m+1}{k}}B_{k}^{-{}}&=\delta _{m,0}\\\sum _{k=0}^{m}{\binom {m+1}{k}}B_{k}^{+{}}&=m+1\end{aligned}}

dónde $m=0,1,2...$ y $δ$ denota el delta de Kronecker . Resolviendo para $B_{m}^{\mp {}}$ da las fórmulas recursivas

{\begin{aligned}B_{m}^{-{}}&=\delta _{m,0}-\sum _{k=0}^{m-1}{\binom {m}{k}}{\frac {B_{k}^{-{}}}{m-k+1}}\\B_{m}^{+}&=1-\sum _{k=0}^{m-1}{\binom {m}{k}}{\frac {B_{k}^{+}}{m-k+1}}.\end{aligned}}

Definición explícita

En 1893, Louis Saalschütz enumeró un total de 38 fórmulas explícitas para los números de Bernoulli, ^{[11] que} suelen dar alguna referencia en la literatura más antigua. Uno de ellos es:

{\begin{aligned}B_{m}^{-{}}&=\sum _{k=0}^{m}\sum _{v=0}^{k}(-1)^{v}{\binom {k}{v}}{\frac {v^{m}}{k+1}}\\B_{m}^{+}&=\sum _{k=0}^{m}\sum _{v=0}^{k}(-1)^{v}{\binom {k}{v}}{\frac {(v+1)^{m}}{k+1}}.\end{aligned}}

Función generadora

Las funciones generadoras exponenciales son

{\begin{aligned}{\frac {t}{e^{t}-1}}&={\frac {t}{2}}\left(\operatorname {coth} {\frac {t}{2}}-1\right)&=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {B_{m}^{-{}}t^{m}}{m!}}\\{\frac {t}{1-e^{-t}}}&={\frac {t}{2}}\left(\operatorname {coth} {\frac {t}{2}}+1\right)&=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {B_{m}^{+}t^{m}}{m!}}.\end{aligned}}

donde la sustitución es $t\to -t$ .

La función generadora (ordinaria)

z^{-1}\psi _{1}(z^{-1})=\sum _{m=0}^{\infty }B_{m}^{+}z^{m}

es una serie asintótica . Contiene la función trigamma $ψ 1$ .

Números de Bernoulli y la función zeta de Riemann

Los números de Bernoulli dados por la función zeta de Riemann.

Los números de Bernoulli se pueden expresar en términos de la función zeta de Riemann :

B + n = - nζ (1 - n)

para

n \geq 1

.

Aquí el argumento de la función zeta es 0 o negativo.

Mediante la ecuación funcional zeta y la fórmula de reflexión gamma se puede obtener la siguiente relación: ^[12]

B_{2n}={\frac {(-1)^{n+1}2(2n)!}{(2\pi )^{2n}}}\zeta (2n)\quad

para

n \geq 1

.

Ahora el argumento de la función zeta es positivo.

Luego se sigue de $ζ \to 1$ ( $n \to \infty$ ) y la fórmula de Stirling que

|B_{2n}|\sim 4{\sqrt {\pi n}}\left({\frac {n}{\pi e}}\right)^{2n}\quad

para

n \to \infty

.

Cálculo eficiente de números de Bernoulli

En algunas aplicaciones es útil poder calcular los números de Bernoulli $B 0$ a $B p - 3$ módulo $p$ , donde $p$ es un número primo; por ejemplo, para probar si la conjetura de Vandiver es válida para $p$ , o incluso simplemente para determinar si $p$ es un número primo irregular . No es factible realizar dicho cálculo utilizando las fórmulas recursivas anteriores, ya que se requerirían al menos (un múltiplo constante de) $p 2$ operaciones aritméticas. Afortunadamente, se han desarrollado métodos más rápidos ^[13] que requieren sólo operaciones $O (p (log p) 2)$ (ver la notación O grande ).

David Harvey ^[14] describe un algoritmo para calcular números de Bernoulli calculando $B n$ módulo $p$ para muchos primos pequeños $p$ , y luego reconstruyendo $B n$ mediante el teorema chino del resto . Harvey escribe que la complejidad temporal asintótica de este algoritmo es $O$ $($ $n$ $2$ $log ($ $n$ $)$ $2 +$ $ε$ $)$ y afirma que esta implementación es significativamente más rápida que las implementaciones basadas en otros métodos. Usando esta implementación, Harvey calculó $B$ $n$ para $n$ $= 10$ $8$ . La implementación de Harvey se ha incluido en SageMath desde la versión 3.1. Antes de eso, Bernd Kellner ^[15] calculó $B$ $n$ con precisión total para $n$ $= 10$ $6$ en diciembre de 2002 y Oleksandr Pavlyk ^[16] para $n$ $= 10$ $7$ con Mathematica en abril de 2008.

Ordenador	Año	norte	Dígitos *
J. Bernoulli	~ 1689	10	1
L. Euler	1748	30	8
JC Adams	1878	62	36
DE Knuth, TJ Buckholtz	1967	1 672	3 330
G. Fee, S. Plouffe	1996	10 000	27 677
G. Fee, S. Plouffe	1996	100 000	376 755
BC Kellner	2002	1 000 000	4 767 529
O. Pavlyk	2008	10 000 000	57 675 260
D. Harvey	2008	100 000 000	676 752 569

* Dígitos debe entenderse como el exponente de 10 cuando

B n

se escribe como un número real en notación científica normalizada .

Aplicaciones de los números de Bernoulli

Análisis asintótico

Podría decirse que la aplicación más importante de los números de Bernoulli en matemáticas es su uso en la fórmula de Euler-Maclaurin . Suponiendo que $f$ es una función diferenciable con suficiente frecuencia, la fórmula de Euler-Maclaurin se puede escribir como ^[17]

\sum _{k=a}^{b-1}f(k)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\sum _{k=1}^{m}{\frac {B_{k}^{-}}{k!}}(f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a))+R_{-}(f,m).

Esta formulación asume la convención $B - 1 = - 1 / 2$ . Usando la convención $B + 1 = + 1 / 2$ la fórmula se convierte en

\sum _{k=a+1}^{b}f(k)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\sum _{k=1}^{m}{\frac {B_{k}^{+}}{k!}}(f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a))+R_{+}(f,m).

Aquí $f^{(0)}=f$ (es decir, la derivada de orden cero de $f$ es solo $f$ ). Además, deja $f^{(-1)}$ denotar una antiderivada de $f$ . Por el teorema fundamental del cálculo ,

\int _{a}^{b}f(x)\,dx=f^{(-1)}(b)-f^{(-1)}(a).

Por lo tanto, la última fórmula se puede simplificar aún más a la siguiente forma sucinta de la fórmula de Euler-Maclaurin

\sum _{k=a}^{b}f(k)=\sum _{k=0}^{m}{\frac {B_{k}}{k!}}(f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a))+R(f,m).

Esta forma es, por ejemplo, la fuente de la importante expansión de Euler-Maclaurin de la función zeta

{\begin{aligned}\zeta (s)&=\sum _{k=0}^{m}{\frac {B_{k}^{+}}{k!}}s^{\overline {k-1}}+R(s,m)\\&={\frac {B_{0}}{0!}}s^{\overline {-1}}+{\frac {B_{1}^{+}}{1!}}s^{\overline {0}}+{\frac {B_{2}}{2!}}s^{\overline {1}}+\cdots +R(s,m)\\&={\frac {1}{s-1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{12}}s+\cdots +R(s,m).\end{aligned}}

Aquí $s k$ denota la potencia factorial ascendente . ^[18]

Los números de Bernoulli también se utilizan con frecuencia en otros tipos de expansiones asintóticas . El siguiente ejemplo es la expansión asintótica clásica de tipo Poincaré de la función digamma $ψ$ .

\psi (z)\sim \ln z-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{k}^{+}}{kz^{k}}}

Suma de poderes

Números de Bernoulli ocupan un lugar destacado en la forma cerrada expresión de la suma de la $m$ º potencias de los primeros $n$ enteros positivos. Para $m, n \geq 0$ definir

S_{m}(n)=\sum _{k=1}^{n}k^{m}=1^{m}+2^{m}+\cdots +n^{m}.

Esta expresión siempre se puede reescribir como un polinomio en $n$ de grado $m + 1$ . Los coeficientes de estos polinomios están relacionados con los números de Bernoulli mediante la fórmula de Bernoulli :

S_{m}(n)={\frac {1}{m+1}}\sum _{k=0}^{m}{\binom {m+1}{k}}B_{k}^{+}n^{m+1-k}=m!\sum _{k=0}^{m}{\frac {B_{k}^{+}n^{m+1-k}}{k!(m+1-k)!}},

donde $(m + 1 k)$ denota elcoeficiente binomial.

Por ejemplo, tomar $m$ como 1 da los números triangulares $0, 1, 3, 6,\dots$ OEIS : A000217 .

1+2+\cdots +n={\frac {1}{2}}(B_{0}n^{2}+2B_{1}^{+}n^{1})={\tfrac {1}{2}}(n^{2}+n).

Tomar $m$ como 2 da los números piramidales cuadrados $0, 1, 5, 14,\dots$ OEIS : A000330 .

1^{2}+2^{2}+\cdots +n^{2}={\frac {1}{3}}(B_{0}n^{3}+3B_{1}^{+}n^{2}+3B_{2}n^{1})={\tfrac {1}{3}}\left(n^{3}+{\tfrac {3}{2}}n^{2}+{\tfrac {1}{2}}n\right).

Algunos autores usan la convención alternativa para los números de Bernoulli y establecen la fórmula de Bernoulli de esta manera:

S_{m}(n)={\frac {1}{m+1}}\sum _{k=0}^{m}(-1)^{k}{\binom {m+1}{k}}B_{k}^{-{}}n^{m+1-k}.

La fórmula de Bernoulli a veces se llama fórmula de Faulhaber en honor a Johann Faulhaber, quien también encontró formas notables de calcular sumas de potencias .

La fórmula de Faulhaber fue generalizada por V. Guo y J. Zeng a un q -análogo . ^[19]

Serie de taylor

Los números de Bernoulli aparecen en la expansión de la serie de Taylor de muchas funciones trigonométricas y funciones hiperbólicas .

Tangente: ${\begin{aligned}\tan x&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}}\;x^{2n-1},&\left|x\right|&<{\frac {\pi }{2}}\\\end{aligned}}$

Cotangente: ${\begin{aligned}\cot x&{}={\frac {1}{x}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}B_{2n}(2x)^{2n}}{(2n)!}},&\qquad 0<|x|<\pi .\end{aligned}}$

Tangente hiperbólica: ${\begin{aligned}\tanh x&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}}\;x^{2n-1},&|x|&<{\frac {\pi }{2}}.\end{aligned}}$

Cotangente hiperbólica: ${\begin{aligned}\coth x&{}={\frac {1}{x}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{2n}(2x)^{2n}}{(2n)!}},&\qquad \qquad 0<|x|<\pi .\end{aligned}}$

Serie Laurent

Los números de Bernoulli aparecen en la siguiente serie de Laurent : ^[20]

Función Digamma : $\psi (z)=\ln z-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{k}^{+{}}}{kz^{k}}}$

Uso en topología

La fórmula de Kervaire-Milnor para el orden del grupo cíclico de clases de difeomorfismo de esferas exóticas (4 n - 1) que unen variedades paralelizables implica números de Bernoulli. Sea $ES n$ el número de tales esferas exóticas para $n \geq 2$ , entonces

{\textit {ES}}_{n}=(2^{2n-2}-2^{4n-3})\operatorname {Numerator} \left({\frac {B_{4n}}{4n}}\right).

El teorema de la firma de Hirzebruch para el género L de una variedad cerrada de orientación suave de dimensión 4 n también involucra números de Bernoulli.

Conexiones con números combinatorios

La conexión del número de Bernoulli con varios tipos de números combinatorios se basa en la teoría clásica de las diferencias finitas y en la interpretación combinatoria de los números de Bernoulli como ejemplo de un principio combinatorio fundamental, el principio de inclusión-exclusión .

Conexión con números Worpitzky

La definición a seguir fue desarrollada por Julius Worpitzky en 1883. Además de la aritmética elemental, sólo la función factorial $n!$ y se emplea la función de potencia $k m$ . Los números Worpitzky sin signo se definen como

W_{n,k}=\sum _{v=0}^{k}(-1)^{v+k}(v+1)^{n}{\frac {k!}{v!(k-v)!}}.

También se pueden expresar mediante los números de Stirling del segundo tipo.

W_{n,k}=k! \left\{ {n+1\atop k+1} \right\}.

Luego se introduce un número de Bernoulli como una suma de inclusión-exclusión de números de Worpitzky ponderados por la secuencia armónica 1, 1/2, 1/3...

B_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\frac {W_{n,k}}{k+1}}\ =\ \sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k+1}}\sum _{v=0}^{k}(-1)^{v}(v+1)^{n}{k \choose v}\ .

B 0 = 1

B 1 = 1 - 1 / 2

B 2 = 1 - 3 / 2 + 2 / 3

B 3 = 1 - 7 / 2 + 12 / 3 - 6 / 4

B 4 = 1 - 15 / 2 + 50 / 3 - 60 / 4 + 24 / 5

B 5 = 1 - 31 / 2 + 180 / 3 - 390 / 4 + 360 / 5 - 120 / 6

B 6 = 1 - 63 / 2 + 602 / 3 - 2100 / 4 + 3360 / 5 - 2520 / 6 + 720 / 7

Esta representación tiene $B + 1 = + 1 / 2$ .

Considere la secuencia $s n$ , $n \geq 0$ . De los números de Worpitzky OEIS : A028246 , OEIS : A163626 aplicado a $s 0, s 0, s 1, s 0, s 1, s 2, s 0, s 1, s 2, s 3,\dots$ es idéntico al Akiyama – Tanigawa transformada aplicada a $s n$ (ver Conexión con números de Stirling del primer tipo ). Esto se puede ver a través de la tabla:

Identidad de
la representación de Worpitzky y la transformación de Akiyama-Tanigawa
1					0	1				0	0	1			0	0	0	1		0	0	0	0	1
1	−1				0	2	−2			0	0	3	−3		0	0	0	4	−4
1	−3	2			0	4	−10	6		0	0	9	−21	12
1	−7	12	−6		0	8	−38	54	−24
1	−15	50	−60	24

La primera fila representa $s 0, s 1, s 2, s 3, s 4$ .

Por lo tanto, para los segundos números de Euler fraccionarios OEIS : A198631 ( $n$ ) / OEIS : A006519 ( $n + 1$ ):

E 0 = 1

E 1 = 1 - 1 / 2

E 2 = 1 - 3 / 2 + 2 / 4

E 3 = 1 - 7 / 2 + 12 / 4 - 6 / 8

E 4 = 1 - 15 / 2 + 50 / 4 - 60 / 8 + 24 / dieciséis

E 5 = 1 - 31 / 2 + 180 / 4 - 390 / 8 + 360 / dieciséis - 120 / 32

E 6 = 1 - 63 / 2 + 602 / 4 - 2100 / 8 + 3360 / dieciséis - 2520 / 32 + 720 / 64

Una segunda fórmula que representa los números de Bernoulli por los números de Worpitzky es para $n \geq 1$

B_{n}={\frac {n}{2^{n+1}-2}}\sum _{k=0}^{n-1}(-2)^{-k}\,W_{n-1,k}.

La segunda representación simplificada de Worpitzky de los segundos números de Bernoulli es:

OEIS : A164555 ( $n + 1$ ) / OEIS : A027642 ( $n + 1$ ) = $n + 1 / 2 n + 2 - 2$ × OEIS : A198631 ( $n$ ) / OEIS : A006519 ( $n + 1$ )

que vincula los segundos números de Bernoulli con los segundos números de Euler fraccionarios. El comienzo es:

1 / 2, 1 / 6, 0, - 1 / 30, 0, 1 / 42,\dots = (1 / 2, 1 / 3, 3 / 14, 2 / 15, 5 / 62, 1 / 21,\dots) \times (1, 1 / 2, 0, - 1 / 4, 0, 1 / 2,\dots)

Los numeradores del primer paréntesis son OEIS : A111701 (consulte Conexión con números de Stirling del primer tipo ).

Conexión con números de Stirling del segundo tipo

Si $S (k, m)$ denota números de Stirling del segundo tipo ^[21], entonces uno tiene:

j^{k}=\sum _{m=0}^{k}{j^{\underline {m}}}S(k,m)

donde $j m$ denota el factorial descendente .

Si se definen los polinomios de Bernoulli $B k (j)$ como: ^[22]

B_{k}(j)=k\sum _{m=0}^{k-1}{\binom {j}{m+1}}S(k-1,m)m!+B_{k}

donde $B k$ para $k = 0, 1, 2,\dots$ son los números de Bernoulli.

Luego, después de la siguiente propiedad del coeficiente binomial :

{\binom {j}{m}}={\binom {j+1}{m+1}}-{\binom {j}{m+1}}

uno tiene,

j^{k}={\frac {B_{k+1}(j+1)-B_{k+1}(j)}{k+1}}.

Uno también tiene lo siguiente para los polinomios de Bernoulli, ^[22]

B_{k}(j)=\sum _{n=0}^{k}{\binom {k}{n}}B_{n}j^{k-n}.

El coeficiente de $j$ en $(j m + 1)$ es $(-1) m / m + 1$ .

Comparando el coeficiente de $j$ en las dos expresiones de polinomios de Bernoulli, uno tiene:

B_{k}=\sum _{m=0}^{k}(-1)^{m}{\frac {m!}{m+1}}S(k,m)

(resultando en $B 1 = + 1 / 2$ ) que es una fórmula explícita para los números de Bernoulli y se puede utilizar para demostrar el teorema de Von-Staudt Clausen . ^[23]^[24]^[25]

Conexión con números de Stirling del primer tipo

Las dos fórmulas principales que relacionan los números de Stirling sin signo del primer tipo $[n m]$ a los números de Bernoulli (con $B 1 = + 1 / 2$ ) están

\frac{1}{m!}\sum_{k=0}^m (-1)^{k} \left[{m+1\atop k+1}\right] B_k = \frac{1}{m+1},

y la inversión de esta suma (para $n \geq 0$ , $m \geq 0$ )

{\frac {1}{m!}}\sum _{k=0}^{m}(-1)^{k}\left[{m+1 \atop k+1}\right]B_{n+k}=A_{n,m}.

Aquí, el número $A n, m$ son los números racionales Akiyama-Tanigawa, los primeros de los cuales se muestran en la siguiente tabla.

Número de Akiyama – Tanigawa
$metro$ $norte$	0	1	2	3	4
0	1	1/2	1/3	1/4	1/5
1	1/2	1/3	1/4	1/5	...
2	1/6	1/6	3/20	...	...
3	0	1/30	...	...	...
4	- 1/30	...	...	...	...

Los números de Akiyama-Tanigawa satisfacen una relación de recurrencia simple que se puede aprovechar para calcular iterativamente los números de Bernoulli. Esto conduce al algoritmo que se muestra en la sección 'descripción algorítmica' anterior. Consulte OEIS : A051714 / OEIS : A051715 .

Una autosecuencia es una secuencia que tiene su transformada binomial inversa igual a la secuencia con signo. Si la diagonal principal es ceros = OEIS : A000004 , la autosecuencia es del primer tipo. Ejemplo: OEIS : A000045 , los números de Fibonacci. Si la diagonal principal es la primera diagonal superior multiplicada por 2, es del segundo tipo. Ejemplo: OEIS : A164555 / OEIS : A027642 , los segundos números de Bernoulli (ver OEIS : A190339 ). La transformada Akiyama – Tanigawa aplicada a $2 - n$ = 1 / OEIS : A000079 conduce a OEIS : A198631 ( n ) / OEIS : A06519 ( n + 1). Por eso:

Transformada de Akiyama-Tanigawa para los segundos números de Euler
$metro$ $norte$	0	1	2	3	4
0	1	1/2	1/4	1/8	1/dieciséis
1	1/2	1/2	3/8	1/4	...
2	0	1/4	3/8	...	...
3	- 1/4	- 1/4	...	...	...
4	0	...	...	...	...

Consulte OEIS : A209308 y OEIS : A227577 . OEIS : A198631 ( $n$ ) / OEIS : A006519 ( $n + 1$ ) son los segundos números de Euler (fraccionarios) y una autosecuencia del segundo tipo.

( OEIS : A164555 (

n + 2

)OEIS : A027642 (

n + 2

) =

1 / 6, 0, - 1 / 30, 0, 1 / 42,\dots

) × (

2 n + 3 - 2 / n + 2

=

3, 14 / 3, 15 / 2, 62 / 5, 21,\dots

) = OEIS : A198631 (

n + 1

)OEIS : A006519 (

n + 2

) =

1 / 2, 0, - 1 / 4, 0, 1 / 2,\dots

.

También valioso para OEIS : A027641 / OEIS : A027642 (consulte Conexión con números Worpitzky ).

Conexión con el triángulo de Pascal

Hay fórmulas que conectan el triángulo de Pascal con los números de Bernoulli ^[c]

B_{n}^{+}={\frac {|A_{n}|}{(n+1)!}}~~~

dónde $|A_{n}|$ es el determinante de una matriz de Hessenberg n-por-n parte del triángulo de Pascal cuyos elementos son: $a_{i,k}={\begin{cases}0&{\text{if }}k>1+i\\{i+1 \choose k-1}&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

Ejemplo:

B_{6}^{+}={\frac {\det {\begin{pmatrix}1&2&0&0&0&0\\1&3&3&0&0&0\\1&4&6&4&0&0\\1&5&10&10&5&0\\1&6&15&20&15&6\\1&7&21&35&35&21\end{pmatrix}}}{7!}}={\frac {120}{5040}}={\frac {1}{42}}

Conexión con números eulerianos

Hay fórmulas que conectan números eulerianos $⟨ n m ⟩ A$ números de Bernoulli:

{\begin{aligned}\sum _{m=0}^{n}(-1)^{m}\left\langle {n \atop m}\right\rangle &=2^{n+1}(2^{n+1}-1){\frac {B_{n+1}}{n+1}},\\\sum _{m=0}^{n}(-1)^{m}\left\langle {n \atop m}\right\rangle {\binom {n}{m}}^{-1}&=(n+1)B_{n}.\end{aligned}}

Ambas fórmulas son válidas para $n \geq 0$ si $B 1$ se establece en 1/2. Si $B 1$ se establece en - 1/2son válidos solo para $n \geq 1$ y $n \geq 2$ respectivamente.

Una representación de árbol binario

¡Los polinomios de Stirling $σ n (x)$ están relacionados con los números de Bernoulli por $B n = n! σ n (1)$ . SC Woon describió un algoritmo para calcular $σ n (1)$ como un árbol binario: ^[26]

El algoritmo recursivo de Woon (para $n \geq 1$ ) comienza asignando al nodo raíz $N = [1,2]$ . Dado un nodo $N = [a 1, a 2,\dots, a k]$ del árbol, el hijo izquierdo del nodo es $L (N) = [- a 1, a 2 + 1, a 3,\dots, a k]$ y el hijo derecho $R (N) = [a 1, 2, a 2,\dots, a k]$ . Un nodo $N = [a 1, a 2,\dots, a k]$ se escribe como $\pm [a 2,\dots, a k]$ en la parte inicial del árbol representado arriba con ± denotando el signo de $un 1$ .

Dado un nodo $N,$ el factorial de $N$ se define como

N!=a_{1}\prod _{k=2}^{\operatorname {length} (N)}a_{k}!.

Restringido a los nodos $N$ de un nivel de árbol fijo $n$ la suma de $1 / ¡ N!$ es $σ n (1)$ , entonces

B_{n}=\sum _{\stackrel {N{\text{ node of}}}{{\text{ tree-level }}n}}{\frac {n!}{N!}}.

Por ejemplo:

B 1 = 1! (1 / 2!)

B 2 = 2! (- 1 / 3! + 1 / 2! 2!)

B 3 = 3! (1 / 4! - 1 / 2! 3! - 1 / 3! 2! + 1 / 2! 2! 2!)

Representación integral y continuación

La integral

b(s)=2e^{si\pi /2}\int _{0}^{\infty }{\frac {st^{s}}{1-e^{2\pi t}}}{\frac {dt}{t}}

tiene como valores especiales $b (2 n) = B 2 n$ para $n > 0$ .

Por ejemplo, $b (3) = 3 / 2 ζ (3) π -3 i$ y $b (5) = - 15 / 2 ζ (5) π -5 yo$ . Aquí, $ζ$ es la función zeta de Riemann e $i$ es la unidad imaginaria . Leonhard Euler ( Opera Omnia , Ser. 1, Vol. 10, p. 351) consideró estos números y calculó

{\begin{aligned}p&={\frac {3}{2\pi ^{3}}}\left(1+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+\cdots \right)=0.0581522\ldots \\q&={\frac {15}{2\pi ^{5}}}\left(1+{\frac {1}{2^{5}}}+{\frac {1}{3^{5}}}+\cdots \right)=0.0254132\ldots \end{aligned}}

La relación con los números de Euler y $π$

Los números de Euler son una secuencia de números enteros íntimamente conectados con los números de Bernoulli. La comparación de las expansiones asintóticas de los números de Bernoulli y Euler muestra que los números de Euler $E 2 n$ tienen una magnitud aproximada $2 / π (4 2 n - 2 2 n)$ veces mayor que los números de Bernoulli $B 2 n$ . En consecuencia:

\pi \sim 2(2^{2n}-4^{2n}){\frac {B_{2n}}{E_{2n}}}.

Esta ecuación asintótica revela que $π se$ encuentra en la raíz común de los números de Bernoulli y Euler. De hecho, $π$ podría calcularse a partir de estas aproximaciones racionales.

Los números de Bernoulli se pueden expresar mediante los números de Euler y viceversa. Dado que, para $n$ impar , $B n = E n = 0$ (con la excepción de $B 1$ ), basta con considerar el caso en el que $n$ es par.

{\begin{aligned}B_{n}&=\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {n-1}{k}}{\frac {n}{4^{n}-2^{n}}}E_{k}&n&=2,4,6,\ldots \\E_{n}&=\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k-1}}{\frac {2^{k}-4^{k}}{k}}B_{k}&n&=2,4,6,\ldots \end{aligned}}

Estas fórmulas de conversión expresan una relación inversa entre los números de Bernoulli y Euler. Pero lo que es más importante, existe una raíz aritmética profunda común a ambos tipos de números, que se puede expresar a través de una secuencia de números más fundamental, también estrechamente vinculada a $π$ . Estos números se definen para $n > 1$ como

S_{n}=2\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{n}\sum _{k=-\infty }^{\infty }(4k+1)^{-n}\qquad k=0,-1,1,-2,2,\ldots

y $S 1 = 1$ por convención. ^[27] La magia de estos números radica en el hecho de que resultan ser números racionales. Esto fue probado por primera vez por Leonhard Euler en un artículo histórico 'De summis serierum reciprocarum' (Sobre las sumas de series de recíprocos) y ha fascinado a los matemáticos desde entonces. ^[28] Los primeros números son

S_n = 1,1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{5}{24}, \frac{2}{15},\frac{61}{720},\frac{17}{315},\frac{277}{8064},\frac{62}{2835},\ldots

( OEIS : A099612 / OEIS : A099617 )

Estos son los coeficientes en la expansión de $sec x + tan x$ .

Los números de Bernoulli y los números de Euler se entienden mejor como vistas especiales de estos números, seleccionados de la secuencia $S n$ y escalados para su uso en aplicaciones especiales.

{\begin{aligned}B_{n}&=(-1)^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }[n{\text{ even}}]{\frac {n!}{2^{n}-4^{n}}}\,S_{n}\ ,&n&=2,3,\ldots \\E_{n}&=(-1)^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }[n{\text{ even}}]n!\,S_{n+1}&n&=0,1,\ldots \end{aligned}}

La expresión [ $n$ par] tiene el valor 1 si $n$ es par y 0 en caso contrario ( corchete Iverson ).

Estas identidades muestran que el cociente de los números de Bernoulli y Euler al comienzo de esta sección es solo el caso especial de $R n = 2 S n / S n + 1$ cuando $n$ es par. Los $R n$ son aproximaciones racionales de $π$ y dos términos sucesivos siempre encierran el verdadero valor de $π$ . A partir de $n = 1$ comienza la secuencia ( OEIS : A132049 / OEIS : A132050 ):

2, 4, 3, \frac{16}{5}, \frac{25}{8}, \frac{192}{61}, \frac{427}{136}, \frac{4352}{1385}, \frac{12465}{3968}, \frac{158720}{50521},\ldots \quad \longrightarrow \pi.

Estos números racionales también aparecen en el último párrafo del artículo de Euler citado anteriormente.

Considere la transformada de Akiyama-Tanigawa para la secuencia OEIS : A046978 ( $n + 2$ ) / OEIS : A016116 ( $n + 1$ ):

0	1	1/2	0	- 1/4	- 1/4	- 1/8	0
1	1/2	1	3/4	0	- 5/8	- 3/4
2	- 1/2	1/2	9/4	5/2	5/8
3	−1	- 7/2	- 3/4	15/2
4	5/2	- 11/2	- 99/4
5	8	77/2
6	- 61/2

A partir de la segunda, los numeradores de la primera columna son los denominadores de la fórmula de Euler. La primera columna es: 1/2× OEIS : A163982 .

Una visión algorítmica: el triángulo de Seidel

La secuencia S _n tiene otra propiedad inesperada pero importante: ¡Los denominadores de S _n dividen el factorial $(n - 1)!$ . En otras palabras: ¡los números $T n = S n (n - 1)!$ , a veces llamados números en zigzag de Euler , son números enteros.

T_{n}=1,\,1,\,1,\,2,\,5,\,16,\,61,\,272,\,1385,\,7936,\,50521,\,353792,\ldots \quad n=0,1,2,3,\ldots

( OEIS : A000111 ). Ver ( OEIS : A253671 ).

Por lo tanto, las representaciones anteriores de los números de Bernoulli y Euler pueden reescribirse en términos de esta secuencia como

{\begin{aligned}B_{n}&=(-1)^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }[n{\text{ even}}]{\frac {n}{2^{n}-4^{n}}}\,T_{n-1}\ &n&=2,3,\ldots \\E_{n}&=(-1)^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }[n{\text{ even}}]T_{n+1}&n&=0,1,\ldots \end{aligned}}

Estas identidades facilitan el cálculo de los números de Bernoulli y Euler: los números de Euler $E n$ vienen dados inmediatamente por $T 2 n + 1$ y los números de Bernoulli $B 2 n$ se obtienen a partir de $T 2 n$ mediante algunos cambios fáciles, evitando la aritmética racional.

Lo que queda es encontrar una forma conveniente de calcular los números $T n$ . Sin embargo, ya en 1877, Philipp Ludwig von Seidel publicó un ingenioso algoritmo que simplifica el cálculo de $T n$ . ^[29]

${\begin{array}{crrrcc}{}&{}&{\color {red}1}&{}&{}&{}\\{}&{\rightarrow }&{\color {blue}1}&{\color {red}1}&{}\\{}&{\color {red}2}&{\color {blue}2}&{\color {blue}1}&{\leftarrow }\\{\rightarrow }&{\color {blue}2}&{\color {blue}4}&{\color {blue}5}&{\color {red}5}\\{\color {red}16}&{\color {blue}16}&{\color {blue}14}&{\color {blue}10}&{\color {blue}5}&{\leftarrow }\end{array}}$

Algoritmo de Seidel para

T n

Comience poniendo 1 en la fila 0 y deje que $k$ denote el número de la fila que se está llenando actualmente
Si $k$ es impar, coloque el número en el extremo izquierdo de la fila $k - 1$ en la primera posición de la fila $k$ , y complete la fila de izquierda a derecha, siendo cada entrada la suma del número al a la izquierda y el número en la parte superior
Al final de la fila, duplique el último número.
Si $k$ es par, proceda de manera similar en la otra dirección.

El algoritmo de Seidel es de hecho mucho más general (ver la exposición de Dominique Dumont ^[30] ) y fue redescubierto varias veces a partir de entonces.

Similar al enfoque de Seidel, DE Knuth y TJ Buckholtz dieron una ecuación de recurrencia para los números $T 2 n$ y recomendaron este método para calcular $B 2 n$ y $E 2 n$ 'en computadoras electrónicas usando solo operaciones simples con números enteros'. ^[31]

VI Arnold ^[32] redescubrió el algoritmo de Seidel y más tarde Millar, Sloane y Young popularizaron el algoritmo de Seidel con el nombre de transformada boustrophedon .

Forma triangular:

						1
					1		1
				2		2		1
			2		4		5		5
		dieciséis		dieciséis		14		10		5
	dieciséis		32		46		56		61		61
272		272		256		224		178		122		61

Solo OEIS : A000657 , con un 1, y OEIS : A214267 , con dos 1, están en la OEIS.

Distribución con un 1 suplementario y un 0 en las siguientes filas:

						1
					0		1
				−1		−1		0
			0		−1		−2		−2
		5		5		4		2		0
	0		5		10		14		dieciséis		dieciséis
−61		−61		−56		−46		−32		−16		0

Esta es OEIS : A239005 , una versión firmada de OEIS : A008280 . El andiagonal principal es OEIS : A122045 . La diagonal principal es OEIS : A155585 . La columna central es OEIS : A099023 . Sumas de filas: 1, 1, −2, −5, 16, 61 .... Ver OEIS : A163747 . Vea la matriz que comienza con 1, 1, 0, −2, 0, 16, 0 a continuación.

El algoritmo Akiyama – Tanigawa aplicado a OEIS : A046978 ( $n + 1$ ) / OEIS : A016116 ( $n$ ) produce:

1	1	1/2	0	- 1/4	- 1/4	- 1/8
0	1	3/2	1	0	- 3/4
−1	−1	3/2	4	15/4
0	−5	- 15/2	1
5	5	- 51/2
0	61
−61

1. La primera columna es OEIS : A122045 . Su transformada binomial conduce a:

1	1	0	−2	0	dieciséis	0
0	−1	−2	2	dieciséis	−16
−1	−1	4	14	−32
0	5	10	−46
5	5	−56
0	−61
−61

La primera fila de esta matriz es OEIS : A155585 . Los valores absolutos de los antidiagonales crecientes son OEIS : A008280 . La suma de los antidiagonales es - OEIS : A163747 ( $n + 1$ ).

2. La segunda columna es 1 1 −1 −5 5 61 −61 −1385 1385… . Su transformada binomial produce:

1	2	2	−4	−16	32	272
1	0	−6	−12	48	240
−1	−6	−6	60	192
−5	0	66	32
5	66	66
61	0
−61

La primera fila de esta matriz es 1 2 2 −4 −16 32 272544 −7936 15872 353792 −707584… . Los valores absolutos de la segunda bisección son el doble de los valores absolutos de la primera bisección.

Considere el algoritmo Akiyama-Tanigawa aplicado a OEIS : A046978 ( $n$ ) / ( OEIS : A158780 ( $n + 1$ ) = abs ( OEIS : A117575 ( $n$ )) + 1 = 1, 2, 2, 3/2, 1, 3/4, 3/4, 7/8, 1, 17/dieciséis, 17/dieciséis, 33/32… .

1	2	2	3/2	1	3/4	3/4
−1	0	3/2	2	5/4	0
−1	−3	- 3/2	3	25/4
2	−3	- 27/2	−13
5	21	- 3/2
−16	45
−61

La primera columna cuyos valores absolutos son OEIS : A000111 podría ser el numerador de una función trigonométrica.

OEIS : A163747 es una secuencia automática del primer tipo (la diagonal principal es OEIS : A000004 ). La matriz correspondiente es:

0	−1	−1	2	5	−16	−61
−1	0	3	3	−21	−45
1	3	0	−24	−24
2	−3	−24	0
−5	−21	24
−16	45
−61

Las dos primeras diagonales superiores son −1 3 −24 402… = $(-1) n + 1$ × OEIS : A002832 . La suma de los antidiagonales es 0 −2 0 10… = 2 × OEIS : A122045 ( n + 1).

- OEIS : A163982 es una secuencia automática del segundo tipo, como por ejemplo OEIS : A164555 / OEIS : A027642 . De ahí la matriz:

2	1	−1	−2	5	dieciséis	−61
−1	−2	−1	7	11	−77
−1	1	8	4	−88
2	7	−4	−92
5	−11	−88
−16	−77
−61

La diagonal principal, aquí 2 −2 8 −92… , es el doble de la primera superior, aquí OEIS : A099023 . La suma de los antidiagonales es 2 0 −4 0… = 2 × OEIS : A155585 ( $n +$ 1). OEIS : A163747 - OEIS : A163982 = 2 × OEIS : A122045 .

Una visión combinatoria: permutaciones alternas

Alrededor de 1880, tres años después de la publicación del algoritmo de Seidel, Désiré André demostró ser un resultado ya clásico del análisis combinatorio. ^[33]^[34] Al observar los primeros términos de la expansión de Taylor de las funciones trigonométricas $tan x$ y $sec x,$ André hizo un descubrimiento sorprendente.

{\begin{aligned}\tan x&=x+{\frac {2x^{3}}{3!}}+{\frac {16x^{5}}{5!}}+{\frac {272x^{7}}{7!}}+{\frac {7936x^{9}}{9!}}+\cdots \\[6pt]\sec x&=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {5x^{4}}{4!}}+{\frac {61x^{6}}{6!}}+{\frac {1385x^{8}}{8!}}+{\frac {50521x^{10}}{10!}}+\cdots \end{aligned}}

Los coeficientes son los números de Euler de índices pares e impares, respectivamente. En consecuencia, la expansión ordinaria de $tan x + sec x$ tiene como coeficientes los números racionales $S n$ .

\tan x+\sec x=1+x+{\tfrac {1}{2}}x^{2}+{\tfrac {1}{3}}x^{3}+{\tfrac {5}{24}}x^{4}+{\tfrac {2}{15}}x^{5}+{\tfrac {61}{720}}x^{6}+\cdots

André luego tuvo éxito mediante un argumento de recurrencia para mostrar que las permutaciones alternas de tamaño impar se enumeran por los números de Euler de índice impar (también llamados números tangentes) y las permutaciones alternas de tamaño par por los números de Euler de índice par (también llamado números secantes).

Secuencias relacionadas

La media aritmética del primer y segundo números de Bernoulli son los números de Bernoulli asociados: $B 0 = 1$ , $B 1 = 0$ , $B 2 = 1 / 6$ , $B 3 = 0$ , $B 4 = - 1 / 30$ , OEIS : A176327 / OEIS : A027642 . A través de la segunda fila de su transformación inversa Akiyama – Tanigawa OEIS : A177427 , conducen a la serie Balmer OEIS : A061037 / OEIS : A061038 .

El algoritmo Akiyama-Tanigawa aplica a OEIS : A060819 ( $n + 4$ ) / OEIS : A145979 ( $n$ ) conduce a los números de Bernoulli OEIS : A027641 / OEIS : A027642 , OEIS : A164555 / OEIS : A027642 , o OEIS : A176327 OEIS : A176289 sin $B 1$ , denominados números intrínsecos de Bernoulli $B i (n)$ .

1	5/6	3/4	7/10	2/3
1/6	1/6	3/20	2/15	5/42
0	1/30	1/20	2/35	5/84
- 1/30	- 1/30	- 3/140	- 1/105	0
0	- 1/42	- 1/28	- 4/105	- 1/28

De ahí otro vínculo entre los números intrínsecos de Bernoulli y la serie de Balmer a través de OEIS : A145979 ( $n$ ).

OEIS : A145979 ( $n - 2$ ) = 0, 2, 1, 6, ... es una permutación de los números no negativos.

Los términos de la primera fila son f (n) = $1 / 2 + 1 / n + 2$ . 2, f (n) es una autosecuencia del segundo tipo. 3/2, f (n) conduce por su transformada binomial inversa a 3/2 −1/2 1/3 −1/4 1/5 ... = 1/2 + log 2.

Considere g (n) = 1/2 - 1 / (n + 2) = 0, 1/6, 1/4, 3/10, 1/3. Las transformaciones de Akiyama-Tanagiwa dan:

0	1/6	1/4	3/10	1/3	5/14	...
- 1/6	- 1/6	- 3/20	- 2/15	- 5/42	- 3/28	...
0	- 1/30	- 1/20	- 2/35	- 5/84	- 5/84	...
1/30	1/30	3/140	1/105	0	- 1/140	...

0, g (n), es una autosecuencia del segundo tipo.

Euler OEIS : A198631 ( $n$ ) / OEIS : A006519 ( $n + 1$ ) sin el segundo término ( 1/2) son los números de Euler intrínsecos fraccionarios $E i (n) = 1, 0, - 1 / 4, 0, 1 / 2, 0, - 17 / 8, 0,\dots$ La transformación de Akiyama correspondiente es:

1	1	7/8	3/4	21/32
0	1/4	3/8	3/8	5/dieciséis
- 1/4	- 1/4	0	1/4	25/64
0	- 1/2	- 3/4	- 9/dieciséis	- 5/32
1/2	1/2	- 9/dieciséis	- 13/8	- 125/64

La primera línea es $Eu (n)$ . $Eu (n)$ precedido por un cero es una autosecuencia del primer tipo. Está vinculado a los números de Oresme. Los numeradores de la segunda línea son OEIS : A069834 precedidos por 0. La tabla de diferencias es:

0	1	1	7/8	3/4	21/32	19/32
1	0	- 1/8	- 1/8	- 3/32	- 1/dieciséis	- 5/128
−1	- 1/8	0	1/32	1/32	3/128	1/64

Propiedades aritméticas de los números de Bernoulli

Los números de Bernoulli se pueden expresar en términos de la función zeta de Riemann como $B n = - nζ (1 - n)$ para enteros $n \geq 0$ siempre que $n = 0$ la expresión $- nζ (1 - n)$ se entienda como el valor límite y la convención $B 1 = 1 / 2$ se utiliza. Esto los relaciona íntimamente con los valores de la función zeta en enteros negativos. Como tales, se podría esperar que tuvieran y tengan propiedades aritméticas profundas. Por ejemplo, la conjetura de Agoh-Giuga postula que $p$ es un número primo si y solo si $pB p - 1$ es congruente con −1 módulo $p$ . Las propiedades de divisibilidad de los números de Bernoulli están relacionadas con los grupos de clases ideales de campos ciclotómicos mediante un teorema de Kummer y su fortalecimiento en el teorema de Herbrand-Ribet , y con los números de clase de campos cuadráticos reales de Ankeny-Artin-Chowla .

Los teoremas de Kummer

Los números de Bernoulli están relacionados con el último teorema de Fermat (FLT) por el teorema de Kummer , ^[35] que dice:

Si el primo impar

p

no divide ninguno de los numeradores de los números de Bernoulli

B 2, B 4,\dots, B p - 3

entonces

x p + y p + z p = 0

no tiene soluciones en números enteros distintos de cero.

Los números primos con esta propiedad se denominan primos regulares . Otro resultado clásico de Kummer son las siguientes congruencias . ^[36]

Sea

p

un número primo impar y

b

un número par tal que

p - 1

no divide a

b

. Entonces, para cualquier entero no negativo

k

{\frac {B_{k(p-1)+b}}{k(p-1)+b}}\equiv {\frac {B_{b}}{b}}{\pmod {p}}.

Una generalización de estas congruencias se conoce con el nombre de continuidad $p$ -ádica.

$p$ -continuidad ádica

Si $b$ , $m$ y $n$ son números enteros positivos tales que $m$ y $n$ no son divisibles por $p - 1$ y $m \equiv n (mod p b - 1 (p - 1))$ , entonces

(1-p^{m-1}){\frac {B_{m}}{m}}\equiv (1-p^{n-1}){\frac {B_{n}}{n}}{\pmod {p^{b}}}.

Dado que $B n = - nζ (1 - n)$ , esto también se puede escribir

\left(1-p^{-u}\right)\zeta (u)\equiv \left(1-p^{-v}\right)\zeta (v){\pmod {p^{b}}},

donde $u = 1 - m$ y $v = 1 - n$ , de manera que $u$ y $v$ son no positiva y no congruente con 1 módulo $p - 1$ . Esto nos dice que la función zeta de Riemann, con $1 - p - s$ sacado de la fórmula del producto de Euler, es continua en los números p -ádicos en números enteros negativos impares congruente módulo $p - 1$ a un particular $a ≢ 1 mod (p - 1)$ , por lo que se puede extender a una función continua $ζ p (s)$ para todos los enteros $p$ -ádicos $ℤ p$ , la función p -ádica zeta .

Congruencias de Ramanujan

Las siguientes relaciones, debido a Ramanujan , proporcionan un método para calcular los números de Bernoulli que es más eficiente que el dado por su definición recursiva original:

{\binom {m+3}{m}}B_{m}={\begin{cases}{\frac {m+3}{3}}-\sum \limits _{j=1}^{\frac {m}{6}}{\binom {m+3}{m-6j}}B_{m-6j},&{\text{if }}m\equiv 0{\pmod {6}};\\{\frac {m+3}{3}}-\sum \limits _{j=1}^{\frac {m-2}{6}}{\binom {m+3}{m-6j}}B_{m-6j},&{\text{if }}m\equiv 2{\pmod {6}};\\-{\frac {m+3}{6}}-\sum \limits _{j=1}^{\frac {m-4}{6}}{\binom {m+3}{m-6j}}B_{m-6j},&{\text{if }}m\equiv 4{\pmod {6}}.\end{cases}}

Teorema de Von Staudt-Clausen

El teorema de von Staudt-Clausen fue dado por Karl Georg Christian von Staudt ^[37] y Thomas Clausen ^{[38] de forma} independiente en 1840. El teorema establece que para todo $n > 0$ ,

B_{2n}+\sum _{(p-1)\,\mid \,2n}{\frac {1}{p}}

es un entero. La suma se extiende a todos los primos $p$ para los cuales $p - 1$ divide $2 n$ .

Una consecuencia de esto es que el denominador de $B 2 n$ está dado por el producto de todos los primos $p$ para los cuales $p - 1$ divide $2 n$ . En particular, estos denominadores son cuadrados libres y divisibles por 6.

¿Por qué desaparecen los números impares de Bernoulli?

La suma

\varphi _{k}(n)=\sum _{i=0}^{n}i^{k}-{\frac {n^{k}}{2}}

se puede evaluar para valores negativos del índice $n$ . Hacerlo mostrará que es una función impar para valores pares de $k$ , lo que implica que la suma solo tiene términos de índice impar. Esto y la fórmula para la suma de Bernoulli implican que $B 2 k + 1 - m$ es 0 para $m$ par y $2 k + 1 - m > 1$ ; y que el término para $B 1$ es cancelado por la resta. El teorema de von Staudt-Clausen combinado con la representación de Worpitzky también da una respuesta combinatoria a esta pregunta (válida para n > 1).

A partir del teorema de von Staudt-Clausen se sabe que para $n$ impar $> 1$ el número $2 B n$ es un número entero. Esto parece trivial si se sabe de antemano que el número entero en cuestión es cero. Sin embargo, al aplicar la representación de Worpitzky se obtiene

2B_{n}=\sum _{m=0}^{n}(-1)^{m}{\frac {2}{m+1}}m!\left\{{n+1 \atop m+1}\right\}=0\quad (n>1{\text{ is odd}})

como una suma de números enteros , lo cual no es trivial. Aquí surge un hecho combinatorio que explica la desaparición de los números de Bernoulli en un índice impar. Sea $S n, m$ el número de mapas sobreyectivos de ${1, 2,\dots, n$ } a ${1, 2,\dots, m$ }, entonces $S n, m = m! {n m}$ . La última ecuación solo puede sostenerse si

\sum _{{\text{odd }}m=1}^{n-1}{\frac {2}{m^{2}}}S_{n,m}=\sum _{{\text{even }}m=2}^{n}{\frac {2}{m^{2}}}S_{n,m}\quad (n>2{\text{ is even}}).

Esta ecuación se puede probar por inducción. Los dos primeros ejemplos de esta ecuación son

n = 4: 2 + 8 = 7 + 3

,

n = 6: 2 + 120 + 144 = 31 + 195 + 40

.

Por lo tanto, los números de Bernoulli desaparecen con un índice impar porque algunas identidades combinatorias no obvias están incorporadas en los números de Bernoulli.

Una reafirmación de la hipótesis de Riemann

La conexión entre los números de Bernoulli y la función zeta de Riemann es lo suficientemente fuerte como para proporcionar una formulación alternativa de la hipótesis de Riemann (RH) que usa solo el número de Bernoulli. De hecho, Marcel Riesz demostró que la RH es equivalente a la siguiente afirmación: ^[39]

Por cada

ε > 1 / 4

existe una constante

C ε > 0

(dependiendo de

ε

) tal que

| R (x) | < C ε x ε

cuando

x \to \infty

.

Aquí $R (x)$ es la función de Riesz

R(x)=2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{\overline {k}}x^{k}}{(2\pi )^{2k}\left({\frac {B_{2k}}{2k}}\right)}}=2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{\overline {k}}x^{k}}{(2\pi )^{2k}\beta _{2k}}}.

$n k$ denota la potencia factorial ascendente en la notación de DE Knuth . Los números $β n = B n / norte$ ocurren con frecuencia en el estudio de la función zeta y son significativas porque $β n$ es un $p-$ entero para los números primos $p$ donde $p - 1$ no divide $n$ . Los $β n$ se denominan números de Bernoulli divididos .

Números de Bernoulli generalizados

Los números de Bernoulli generalizadas son ciertos números algebraicos , que se define de manera similar a los números de Bernoulli, que están relacionados con los valores especiales de Dirichlet L -Funciones de la misma manera que los números de Bernoulli están relacionados con los valores especiales de la función zeta de Riemann.

Sea $χ$ un carácter de Dirichlet módulo $f$ . Los números de Bernoulli generalizados adjuntos a $χ$ están definidos por

\sum _{a=1}^{f}\chi (a){\frac {te^{at}}{e^{ft}-1}}=\sum _{k=0}^{\infty }B_{k,\chi }{\frac {t^{k}}{k!}}.

Aparte del excepcional $B 1,1 = 1 / 2$ , tenemos, para cualquier carácter de Dirichlet $χ$ , que $B k, χ = 0$ si $χ (-1) \neq (-1) k$ .

Generalizando la relación entre los números de Bernoulli y los valores de la función zeta de Riemann en enteros no positivos, se tiene para todos los enteros $k \geq 1$ :

L(1-k,\chi )=-{\frac {B_{k,\chi }}{k}},

donde $L (s, χ)$ es la función $L de$ Dirichlet de $χ$ . ^[40]

Apéndice

Identidades variadas

El cálculo de umbrales da una forma compacta de la fórmula de Bernoulli usando un símbolo abstracto $B$ :
$S_{m}(n)={\frac {1}{m+1}}((\mathbf {B} +n)^{m+1}-B_{m+1})$
donde el símbolo $B k$ que aparece durante la expansión binomial del término entre paréntesis debe ser reemplazado por el número de Bernoulli $B k$ (y $B 1 = + 1 / 2$ ). De manera más sugerente y mnemotécnica, esto puede escribirse como una integral definida:
$S_m(n) = \int_0^n (\mathbf{B}+x)^m\,dx$
Muchas otras identidades de Bernoulli se pueden escribir de forma compacta con este símbolo, p. Ej.
$(1-2\mathbf {B} )^{m}=(2-2^{m})B_{m}$
Sea $n$ no negativo e incluso
$\zeta (n)={\frac {(-1)^{{\frac {n}{2}}-1}B_{n}(2\pi )^{n}}{2(n!)}}$
El $n-$ ésimo acumulativo de la distribución de probabilidad uniforme en el intervalo [−1, 0] es $B n / norte$ .
Deja $n ? = 1 / n!$ y $n \geq 1$ . Entonces $B n$ es el siguiente determinante $(n + 1) \times (n + 1)$ : ^[41]
${\begin{aligned}B_{n}&=n!{\begin{vmatrix}1&0&\cdots &0&1\\2?&1&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots \\n?&(n-1)?&\cdots &1&0\\(n+1)?&n?&\cdots &2?&0\end{vmatrix}}\\[8pt]&=n!{\begin{vmatrix}1&0&\cdots &0&1\\{\frac {1}{2!}}&1&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots \\{\frac {1}{n!}}&{\frac {1}{(n-1)!}}&\cdots &1&0\\{\frac {1}{(n+1)!}}&{\frac {1}{n!}}&\cdots &{\frac {1}{2!}}&0\end{vmatrix}}\end{aligned}}$
Por tanto, el determinante es $σ n (1)$ , el polinomio de Stirling en $x = 1$ .
Para números de Bernoulli pares, $B 2 p$ viene dado por el determinante $(p + 1) \times (p + 1)$ :: ^[41]
$B_{2p}=-{\frac {(2p)!}{2^{2p}-2}}{\begin{vmatrix}1&0&0&\cdots &0&1\\{\frac {1}{3!}}&1&0&\cdots &0&0\\{\frac {1}{5!}}&{\frac {1}{3!}}&1&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots \\{\frac {1}{(2p+1)!}}&{\frac {1}{(2p-1)!}}&{\frac {1}{(2p-3)!}}&\cdots &{\frac {1}{3!}}&0\end{vmatrix}}$
Sea $n \geq 1$ . Entonces ( Leonhard Euler )
${\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}B_{k}B_{n-k}+B_{n-1}=-B_{n}$
Sea $n \geq 1$ . Entonces ^[42]
$\sum _{k=0}^{n}{\binom {n+1}{k}}(n+k+1)B_{n+k}=0$
Sea $n \geq 0$ . Entonces ( Leopold Kronecker 1883)
$B_{n}=-\sum _{k=1}^{n+1}{\frac {(-1)^{k}}{k}}{\binom {n+1}{k}}\sum _{j=1}^{k}j^{n}$
Sean $n \geq 1$ y $m \geq 1$ . Entonces ^[43]
$(-1)^{m}\sum _{r=0}^{m}{\binom {m}{r}}B_{n+r}=(-1)^{n}\sum _{s=0}^{n}{\binom {n}{s}}B_{m+s}$
Sea $n \geq 4$ y
$H_{n}=\sum _{k=1}^{n}k^{-1}$
el número armónico . Entonces (H. Miki 1978)
${\frac {n}{2}}\sum _{k=2}^{n-2}{\frac {B_{n-k}}{n-k}}{\frac {B_{k}}{k}}-\sum _{k=2}^{n-2}{\binom {n}{k}}{\frac {B_{n-k}}{n-k}}B_{k}=H_{n}B_{n}$
Sea $n \geq 4$ . Yuri Matiyasevich encontrado (1997)
$(n+2)\sum_{k=2}^{n-2}B_k B_{n-k}-2\sum_{l=2}^{n-2}\binom{n+2}{l} B_l B_{n-l}=n(n+1)B_n$
Faber– Pandharipande - Zagier –Gessel identidad : para $n \geq 1$ ,
${\frac {n}{2}}\left(B_{n-1}(x)+\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {B_{k}(x)}{k}}{\frac {B_{n-k}(x)}{n-k}}\right)-\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {n}{k}}{\frac {B_{n-k}}{n-k}}B_{k}(x)=H_{n-1}B_{n}(x).$
La elección de $x = 0$ o $x = 1$ da como resultado la identidad número Bernoulli en una u otra convención.
La siguiente fórmula es verdadera para $n \geq 0$ si $B 1 = B 1 (1) = 1 / 2$ , pero solo para $n \geq 1$ si $B 1 = B 1 (0) = - 1 / 2$ .
$\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {B_{k}}{n-k+2}}={\frac {B_{n+1}}{n+1}}$
Sea $n \geq 0$ . Luego
$-1+\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {2^{n-k+1}}{n-k+1}}B_{k}(1)=2^{n}$
y
$-1+\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {2^{n-k+1}}{n-k+1}}B_{k}(0)=\delta _{n,0}$
Una relación de reciprocidad de M. B. Gelfand: ^[44]
$(-1)^{m+1}\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}{\frac {B_{m+1+j}}{m+1+j}}+(-1)^{k+1}\sum _{j=0}^{m}{\binom {m}{j}}{\frac {B_{k+1+j}}{k+1+j}}={\frac {k!m!}{(k+m+1)!}}$

Ver también

Polinomio de Bernoulli
Polinomios de Bernoulli del segundo tipo
Número de campana
Número de Euler
Número de Genocchi
Congruencias de Kummer
Número de Poly-Bernoulli
Función zeta de Hurwitz
Suma de Euler
Polinomio de Stirling
Sumas de poderes

Notas

^
Traducción del texto: "... Y si [uno] avanzara paso a paso hacia poderes superiores, se puede proporcionar, con poca dificultad, la siguiente lista:
Sumas de poderes

⋮

De hecho [si] uno ha examinado diligentemente la ley de progresión aritmética allí, también podrá continuar la misma sin estos cálculos tortuosos: Porque [si] se toma como exponente de cualquier potencia, la suma de todos se produce o

y así sucesivamente, el exponente de su poder disminuyendo continuamente en 2 hasta que llega a o . Las letras mayúsculas etc. denotar en orden los coeficientes de los últimos términos para , etc. a saber
. "
[Nota: El texto de la ilustración contiene algunos errores tipográficos: ensperexit debe leer inspexerit , ambabimus debe leer ambagibus , quosque debe leer quousque , y en el texto original de Bernoulli, Sumtâ debe leer Sumptâ o Sumptam .]
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^ El Proyecto de genealogía matemática (nd) muestra a Leibniz como el asesor académico de Jakob Bernoulli. Véase también Miller (2017) .
^ esta fórmula fue descubierta (o quizás redescubierta) por Giorgio Pietrocola. Su demostración está disponible en idioma italiano ( Pietrocola 2008 ).

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enlaces externos

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Un algoritmo multimodular para calcular números de Bernoulli
La página del número de Bernoulli
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[9] Traducción del texto: "... Y si [uno] avanzara paso a paso hacia poderes superiores, se puede proporcionar, con poca dificultad, la siguiente lista:
Sumas de poderes
$\textstyle \int n=\sum _{k=1}^{n}k={\frac {1}{2}}n^{2}+{\frac {1}{2}}n$
⋮
$\textstyle \int n^{10}=\sum _{k=1}^{n}k^{10}={\frac {1}{11}}n^{11}+{\frac {1}{2}}n^{10}+{\frac {5}{6}}n^{9}-1n^{7}+1n^{5}-{\frac {1}{2}}n^{3}+{\frac {5}{66}}n$
De hecho [si] uno ha examinado diligentemente la ley de progresión aritmética allí, también podrá continuar la misma sin estos cálculos tortuosos: Porque [si] $\textstyle c$ se toma como exponente de cualquier potencia, la suma de todos $\textstyle n^{c}$ se produce o
$\textstyle \int n^{c}=\sum _{k=1}^{n}k^{c}={\frac {1}{c+1}}n^{c+1}+{\frac {1}{2}}n^{c}+{\frac {c}{2}}An^{c-1}+{\frac {c(c-1)(c-2)}{2\cdot 3\cdot 4}}Bn^{c-3}+{\frac {c(c-1)(c-2)(c-3)(c-4)}{2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6}}Cn^{c-5}+{\frac {c(c-1)(c-2)(c-3)(c-4)(c-5)(c-6)}{2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8}}Dn^{c-7}+\cdots$
y así sucesivamente, el exponente de su poder disminuyendo continuamente en 2 hasta que llega a o $n^{2}$ . Las letras mayúsculas $\textstyle A,B,C,D,$ etc. denotar en orden los coeficientes de los últimos términos para $\textstyle \int n^{2},\int n^{4},\int n^{6},\int n^{8}$ , etc. a saber
$\textstyle A={\frac {1}{6}},B=-{\frac {1}{30}},C={\frac {1}{42}},D=-{\frac {1}{30}}$ . "
[Nota: El texto de la ilustración contiene algunos errores tipográficos: ensperexit debe leer inspexerit , ambabimus debe leer ambagibus , quosque debe leer quousque , y en el texto original de Bernoulli, Sumtâ debe leer Sumptâ o Sumptam .]
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[2] Smith, David Eugene (1929). Un libro de consulta en matemáticas . Nueva York, Nueva York, Estados Unidos: McGraw-Hill Book Co. págs. 91–92.

[3] Bernoulli, Jacob (1713). Ars Conjectandi (en latín). Basilea, Suiza: hermanos Thurnis. págs. 97–98.

[10] El Proyecto de genealogía matemática (nd) muestra a Leibniz como el asesor académico de Jakob Bernoulli. Véase también Miller (2017) .

[28] sta fórmula fue descubierta (o quizás redescubierta) por Giorgio Pietrocola. Su demostración está disponible en idioma italiano ( Pietrocola 2008 ).

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[12] Véase Irlanda y Rosen (1990) o Conway y Guy (1996) .

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jueves, 30 de marzo de 2023

libro - Theoretical Elements Of Electrical Engineering by Charles Proteus Steinmetz

Theoretical Elements Of Electrical Engineering

Book - Theory And Calculation Of Electric Circuits by Charles Proteus Steinmetz

The Fuzzy Future by Bart Kosko - archive.org

Book The Fuzzy Future by Bart Kosko

The Fuzzy Future

lunes, 27 de marzo de 2023

Número de Bernoulli - Notacion - Historia - Algoritmos - Digitos

Número de Bernoulli

Número de Bernoulli

Notación

Historia

Historia temprana

Reconstrucción de "Summae Potestatum"

Definiciones

Definición recursiva

Definición explícita

Función generadora

Números de Bernoulli y la función zeta de Riemann

Cálculo eficiente de números de Bernoulli

Aplicaciones de los números de Bernoulli

Análisis asintótico

Suma de poderes

Serie de taylor

Serie Laurent

Uso en topología

Conexiones con números combinatorios

Conexión con números Worpitzky

Conexión con números de Stirling del segundo tipo

Conexión con números de Stirling del primer tipo

Conexión con el triángulo de Pascal

Conexión con números eulerianos

Una representación de árbol binario

Representación integral y continuación

La relación con los números de Euler y π

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Ver también

Notas

Referencias

enlaces externos

La relación con los números de Euler y $π$

$p$ -continuidad ádica