viernes, 6 de mayo de 2022

Rotación de Ejes, Traslación, Simetrias

https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/analitica/vectores/traslaciones-giros-y-simetria-axial-y-central.html


Temas



Traslaciones

 

Coordenadas de un punto mediante una traslación

Sea {T_{\vec{v}}} la notación de la traslación y {A(x,y) \quad A(x',y')} los extremos del segmento trasladado, {\vec{v}= (a,b)}
el vector.

El punto A' se define como:
{A' = A + \vec{v}}

Ahora sustituimos los valores de A y el vector
{A' = (x,y) + (a,b) = (x+a, y+b)}

Para encontrar las coordenadas del punto A'
{x' = x+a \quad y' = y+b}

 

Traslación

 

Traslación de una recta

 

Giros

 

Giro de centro O(0,0)

 

Centro de giro en el origen

Sea {G(O,\alpha)} la notación de giro desde el origen y con un ángulo {\alpha}

{G(O,\alpha) \quad O(0,0)}

Donde las coordenadas están dadas por:

{x' = x\cdot \cos \alpha - y \cdot \sin \alpha}

 

{y' = x\cdot \sin \alpha + y \cdot \cos \alpha}

 

Giro de centro O'(a,b)

 

Centro de giro fuera del origen

Sea {G(O',\alpha)} la notación de giro desde el origen {O'(a,b)}y con un ángulo {\alpha}

{G(O,\alpha) \quad O'(a,b)}

Donde las coordenadas están dadas por:

{x' - a = (x - a)\cdot \cos \alpha - (y - b)\cdot \sin \alpha}

 

{y' - b = (x - a)\cdot \sin \alpha + (y - b)\cdot \cos \alpha}

 

Simetría central

 

Coordenadas mediante una simetría de centro O(0,0)

 

Simetría con centro en el origen

 

Sea P' el reflejo simétrico al punto 0 de P, definido como:

{P' = (-x,-y)}

Con coordenadas

{x' = -x \quad y' = -y}

 

Una simetría de centro O equivale a un giro de centro O y amplitud 180°.

 

Coordenadas mediante una simetría de centro O(a, b)

 

Simetría con centro fuera del origen

Sea P' el reflejo simétrico al punto O' de P, definido como:

{P' = (-x+ 2a, -y+ 2b)}

Con coordenadas

{x' = -x + 2a}

 

{y' = -y + 2b}

 

Simetría axial

 

Coordenadas de un punto simétrico al eje de ordenadas

 

Simetría axial (ordenadas)

 

Sea P' el reflejo simétrico al eje y de P, definido como:

{P(x, y) \longrightarrow P'(-x, y)}

Con coordenadas

{x = -x' \quad y = y'}

 

Coordenadas de un punto simétrico al eje de abscisas

 

Simetría axial (abscisas)

 

Sea P' el reflejo simétrico al eje x de P, definido como:

{P(x, y) \longrightarrow P'(x, -y)}

Con coordenadas

{x = x' \quad y = -y'}


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