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Excentricidad de las cónicas

En este artículo explicamos qué es la excentricidad en las secciones cónicas y cómo calcularla en cada caso con ejemplos.

Índice

• ¿Qué es la excentricidad?
• Elipse 
• Parábola
• Hipérbola 
• Resumen de fórmulas
• Preguntas frecuentes

¿Qué es la excentricidad?

La excentricidad de una cónica es un número que mide la forma y la desviación de la cónica respecto a una circunferencia. Este valor se simboliza como “e” o “ε (epsilon)” y que describe cuán "estirada" o "aplanada" es una cónica.

Elipse 

Para una elipse, la excentricidad mide su grado de "redondez" o "aplastamiento". Si a es la longitud del semieje mayor (la distancia desde el centro hasta un vértice principal) y b es la longitud del semieje menor (la distancia desde el centro hasta un vértice secundario), la excentricidad se calcula como:

$e=\sqrt{1-{\displaystyle \frac{b^2}{a^2}}}$

También puede calcularse usando la distancia del centro al foco (c) y la distancia del centro a un vértice principal (a) de esta forma:

e = c / a

En una elipse, la excentricidad siempre está comprendida entre 0 y 1 (0 ≤ e < 1). Esto se debe a que, por definición, el valor c siempre es menor que a (c < a), pues en caso contrario los focos estarían fuera de la elipse.

• Cuando la excentricidad es 0, la elipse se convierte en una circunferencia perfecta. En este caso, los dos focos son el mismo punto y coinciden en el centro, por lo que c=0. También puede interpretarse como que los semiejes son iguales.
• Cuando la excentricidad se acerca a 1, los focos se alejan cada vez más del centro y la elipse se alarga y se aplasta. 

Elipse con excentricidad cerca de cero. Los focos (puntos morados) están muy cerca y la curva parece una circunferencia.

Elipse con excentricidad cerca de uno. Los focos están muy separados provocando una curva larga y aplastada

Ejemplos

Calcular la excentricidad de las siguientes elipses:

1. ${\displaystyle \frac{(x-5{)}^2}{16}}+{\displaystyle \frac{(y+2{)}^2}{9}}=1$
2. ${\displaystyle \frac{(x+2{)}^2}{10}}+{\displaystyle \frac{(y-3{)}^2}{18}}=1$
3. $(x-4{)}^2+{\displaystyle \frac{(y+1{)}^2}{12}}=1$

Soluciones

Los datos para calcular la excentricidad se obtienen directamente de las ecuaciones.

1) En ${\displaystyle \frac{(x-5{)}^2}{16}}+{\displaystyle \frac{(y+2{)}^2}{9}}=1$ extraemos que $a^2=16$ y $b^2=9$ porque 16 > 9. Con estos valores obtenemos:

$e=\sqrt{1-{\displaystyle \frac{b^2}{a^2}}}=\sqrt{1-{\displaystyle \frac{9}{16}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{7}{16}}}\approx 0,66$

2) Para la ecuación ${\displaystyle \frac{(x+2{)}^2}{10}}+{\displaystyle \frac{(y-3{)}^2}{18}}=1$ se tiene que $a^2=18$ y $b^2=10$ porque 18 > 10

Calculamos la excentricidad:

$e=\sqrt{1-{\displaystyle \frac{b^2}{a^2}}}=\sqrt{1-{\displaystyle \frac{10}{18}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{8}{18}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{4}{9}}}\approx 0.67$

3) Para la ecuación: $(x-4{)}^2+{\displaystyle \frac{(y+1{)}^2}{12}}=1$ la completamos para poder extraer bien los valores, de este modo la ecuación es:

${\displaystyle \frac{(x-4{)}^2}{1}}+{\displaystyle \frac{(y+1{)}^2}{12}}=1$

donde $a^2=12$ y $b^2=1$

Calculamos la excentricidad:

$e=\sqrt{1-{\displaystyle \frac{b^2}{a^2}}}=\sqrt{1-{\displaystyle \frac{1}{12}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{11}{12}}}\approx 0.96$

Como era de esperarse, todas las excentricidades son menores a 1.

Parábola

Toda parábola tiene excentricidad igual a 1 independientemente de su forma. 

Ejemplos

Determinar la excentricidad de las siguientes parábolas:

1. $3y+4=(x-2{)}^2-5$
2. $x+5=-2(y-1{)}^2+3$
3. $y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}(x+3{)}^2+4$

Solución: todas las parábolas tienen excentricidad e=1.

Hipérbola 

En una hipérbola, la excentricidad mide qué tan “abiertas” son sus ramas. Si a es la longitud del semieje transversal (distancia del centro a un vértice) y b es la longitud del semieje conjugado, la excentricidad se calcula como:

$e=\sqrt{1+{\displaystyle \frac{b^2}{a^2}}}$

Al igual que en la elipse, se puede calcular usando la distancia del centro a un foco (c) y la del centro al vértice (a):

e = c / a

En una hipérbola, la excentricidad es siempre mayor que 1, ya que los focos están más lejos del centro que los vértices, lo que implica que c > a. A medida que la excentricidad aumenta, las ramas de la hipérbola se hacen más "abiertas" y más parecidas a rectas paralelas. Cuánto más cerca de uno, más “achatadas” están las ramas. 

Hipérbola con excentricidad baja, cercana a 1

Hipérbola con una excentricidad alta

Ejemplos

Calcular la excentricidad de las siguientes hipérbolas.

1. ${\displaystyle \frac{(x-3{)}^2}{4}}-(y+2{)}^2=1$
2. ${\displaystyle \frac{(y-1{)}^2}{9}}-{\displaystyle \frac{(x+5{)}^2}{16}}=1$
3. ${\displaystyle \frac{x^2}{7}}-{\displaystyle \frac{(y-4{)}^2}{8}}=1$

Soluciones

1) De $(x-3{)}^2-{\displaystyle \frac{(y+2{)}^2}{4}}=1$ extraemos que $a^2=1$ y $b^2=4$ porque el término positivo es el que tiene el valor de a. 

Con estos valores calculamos la excentricidad:

$e=\sqrt{1+{\displaystyle \frac{b^2}{a^2}}}=\sqrt{1+{\displaystyle \frac{4}{1}}}=\sqrt{5}\approx 2,24$

2) En la ecuación ${\displaystyle \frac{(y-1{)}^2}{9}}-{\displaystyle \frac{(x+5{)}^2}{16}}=1$ identificamos los valores que necesitamos. En esta ecuación, el término positivo es el que contiene a y, por lo que $a^2=9$ y $b^2=16.$

Calculamos la excentricidad:

$e=\sqrt{1+{\displaystyle \frac{b^2}{a^2}}}=\sqrt{1+{\displaystyle \frac{16}{9}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{25}{9}}}={\displaystyle \frac{5}{3}}\approx 1.67$

3) En la ecuación ${\displaystyle \frac{x^2}{7}}-{\displaystyle \frac{(y-4{)}^2}{8}}=1,$ el término positivo es ${\displaystyle \frac{x^2}{7}},$ por lo que $a^2=7$ y $b^2=8.$

Calculamos la excentricidad:

$e=\sqrt{1+{\displaystyle \frac{b^2}{a^2}}}=\sqrt{1+{\displaystyle \frac{8}{7}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{15}{7}}}\approx 1.46$

Como es de esperarse, todas las excentricidades son mayores a 1. 

Resumen de fórmulas

Sección cónica	Excentricidad	Fórmulas
Circunferencia	e = 0	-
Elipse	0 ≤ e < 1	e = c / a $e=\sqrt{1-{\displaystyle \frac{b^2}{a^2}}}$
Parábola	e = 1	-
Hipérbola	e > 1	e = c / a $e=\sqrt{1+{\displaystyle \frac{b^2}{a^2}}}$

Preguntas frecuentes

¿Cuál es la relación entre la excentricidad y el tipo de cónica?

¿Cuál es la cónica con excentricidad cero?

¿Cuál es la cónica que presenta una excentricidad menor a 1?

¿Qué tipo de cónica presenta una excentricidad mayor a 1?