Recta y plano en el espacio: intersecciones y ángulos

Recta y plano en el espacio: intersecciones y ángulos

 

https://aga.frba.utn.edu.ar/recta-y-plano-intersecciones-y-angulos/

Intersección entre recta y plano

¿Qué casos pueden presentarse en la intersección entre una recta y un plano?

Caso 1

Una recta puede ser concurrente con un plano:

$$r\cap \pi =\left\{P\right\}$$

Caso 2

Una recta puede ser paralela a un plano:

$$r\parallel \pi$$

$$r\cap \pi =\varnothing$$

Caso 3

Una recta puede estar incluida en un plano:

$$r\subset \pi$$

$$r\cap \pi =r$$

Ejemplos

Dados:

$$\pi :2x–3y+z+1=0$$

$$r_1:\left(x,y,z\right)=\left(0,1,3\right)+\alpha \left(1,0,1\right)$$

¿Cómo se busca la intersección entre la recta y el plano?

Escribimos las ecuaciones paramétricas de la recta y las reemplazamos en la ecuación del plano:

$$\{\begin{array}{c}x=\alpha \\ y=1\\ z=3+\alpha \end{array}$$

$$2\alpha –3.1+\left(3+\alpha \right)+1=0\Rightarrow \alpha =–\frac{1}{3}$$

Reemplazando el valor del parámetro $\alpha$

en las ecuaciones de la recta, obtenemos el punto de intersección:

$$r_1\cap \pi =\left\{\left(–\frac{1}{3},1,\frac{8}{3}\right)\right\}$$

Busquemos ahora la intersección del mismo plano $\pi$

con la recta

$$r_2:\left(x,y,z\right)=\left(0,0,–1\right)+\lambda \left(3,2,0\right)$$

Escribimos las ecuaciones paramétricas:

$$\{\begin{array}{c}x=3\lambda \\ y=2\lambda \\ z=–1\end{array}$$

Reemplazamos en la ecuación del plano

$$2\left(3\lambda \right)–3\left(2\lambda \right)–1+1=0\Rightarrow 0=0\forall \lambda$$

Queda una expresión que es verdadera para todo $\lambda$

. Esto significa que todo punto de la recta verifica la ecuación del plano. En este caso podemos afirmar que la recta está incluida en el plano, por lo tanto: $r_2\cap \pi =r_2.$

Considerando el mismo plano $\pi$

, hallemos la intersección con la recta

$$r_3:\left(x,y,z\right)=\left(5,0,0\right)+t\left(0,1,3\right)$$

Reiterando el procedimiento, resulta:

$$\{\begin{array}{c}x=5\\ y=t\\ z=3t\end{array}$$

$$10–3t+3t+1=0\Rightarrow 11=0absurdo$$

Este absurdo nos indica que la recta y el plano no tienen ningún punto en común, o sea que la recta es paralela al plano y por lo tanto: $r\cap \pi =\varnothing$

En resumen:

Para hallar la intersección entre un plano y una recta, se reemplazan las ecuaciones paramétricas de la recta en la ecuación del plano.

Pueden presentarse tres casos:

i) Es posible despejar el valor del parámetro, entonces reemplazando este valor en las ecuaciones de la recta se obtiene el punto de intersección. En este caso:

$$r\cap \pi =\left\{P\right\}$$

ii) $0=0\Rightarrow r\subset \pi \Rightarrow r\cap \pi =r$

iii) $0=k\left(conk\ne 0\right)\Rightarrow Absurdo$

 $\Rightarrow r\parallel \pi \Rightarrow r\cap \pi =\varnothing$

Paralelismo entre recta y plano

¿Existe una manera de anticipar si una recta es paralela a un plano sin buscar la intersección?

Una vez más, los vectores resultarán una herramienta potente para la geometría de rectas y planos. Observemos la siguiente figura:

¿Cómo deben ser el vector normal del plano y el vector director de la recta para que $r\parallel \pi$

?

$$r\parallel \pi \iff \vec{v}\perp \vec{n}\iff \vec{v}.\vec{n}=0$$

¿Qué ocurre si la recta está incluida en el plano?

En este caso también se verifica que el vector director de la recta es perpendicular al normal del plano. Pero a diferencia del caso anterior, todos los puntos de la recta están en el plano. Esto nos permite afirmar que:

$$r\subset \pi \iff \{\begin{array}{c}\vec{v}\perp \vec{n}\\ P_r\in \pi \end{array}$$

Ejemplo

Dados el plano $\pi :x+y–z–3=0$

y la recta $r:\left(x,y,z\right)=\left(1,0,0\right)+t\left(0,2,2\right)$

, comprobar que la recta es paralela al plano. ¿Está incluida en el plano?

Si la recta es paralela al plano entonces su vector director $\vec{v}$

debe ser perpendicular al vector normal del plano $\vec{n}$. Luego $\vec{n}.\vec{v}$

debe ser cero:

$$\left(1,1,–1\right)\left(0,2,2\right)=2–2=0$$

Para saber si la recta está incluida en el plano veamos si el punto $\left(1,0,0\right)$

satisface la ecuación del plano $\pi$

:

$$1+0–0–3=0\Rightarrow –2=0Abs!$$

Como el punto no satisface la ecuación podemos concluir que $r$

no está incluida en $\pi$

.

Ejercicio para el lector 3

Sea $\pi$

el plano paralelo al eje $y$ que pasa por $\left(1,1,1\right)$ y $\left(1,2,3\right)$

, y

$$r:\{\begin{array}{c}x–y=0\\ x+kz=2\end{array}$$

Hallar, si es posible, el valor de $k$

para que la recta $r$ sea paralela a $\pi$

.

Si existe $k$

, analizar si $r\subset \pi$

.

Respuesta: $k=0$

y la recta no pertenece al plano.

Perpendicularidad entre recta y plano

Así como encontramos una condición vectorial para el paralelismo entre una recta y un plano, nos preguntamos si existirá una condición para la perpendicularidad. Observemos la siguiente figura:

¿Cómo deben ser el vector normal del plano y el vector director de la recta para que $r\perp \pi$

?

$$r\perp \pi \iff \vec{v}\parallel \vec{n}\iff \vec{v}=k\vec{n}$$

Ejemplo

Dado el plano $\pi :x–3y+z+1=0$

, hallar la ecuación de la recta perpendicular a $\pi$ que pasa por $A\left(1,0,3\right)$

.

Como la recta es perpendicular al plano $\pi$

entonces su vector director es paralelo al vector normal del plano. Podemos tomar:

$$\vec{v}=\left(1,–3,1\right)$$

Ya tenemos el vector director y un punto de paso, luego la ecuación vectorial es:

$$r:\left(x,y,z\right)=\left(1,0,3\right)+\lambda \left(1,–3,1\right),\lambda \in R$$

Ejercicio para el lector 4

Dado el haz de planos $x+y–z+2+k\left(x–y+z\right)=0$

, analizar si existe algún plano del haz que sea perpendicular a la recta $r:\{\begin{array}{c}x–1=0\\ y–z=0\end{array}$

.

Ángulo entre recta y plano

Consideremos el siguiente esquema:

Sea $r$

 una recta no paralela ni perpendicular a un plano $\pi$. Sea la proyección ortogonal de $r$ sobre $\pi$. Se define como ángulo entre $r$ y $\pi$ al ángulo agudo que forman $r$ y $r^{\prime }$

.

¿Cómo podemos hallar dicho ángulo? Veamos la siguiente figura:

Podemos calcular el ángulo $\beta$

entre $\vec{v}$ y $\vec{n}$

:

$$\cos \left(\beta \right)=\frac{\vec{v}.\vec{n}}{\parallel \vec{v}\parallel \parallel \vec{n}\parallel }$$

Como habíamos visto previamente, de acuerdo con las direcciones de $\vec{v}$

y $\vec{n}$ el ángulo $\beta$

podría ser mayor de 90º. Agregamos módulo para obtener un ángulo agudo:

$$\cos \left(\beta \right)=\frac{\left|\overrightarrow{v}.\overrightarrow{n}\right|}{\parallel \vec{v}\parallel \parallel \vec{n}\parallel }$$

Como $\alpha$

y $\beta$ son complementarios se cumple que $sen\left(\alpha \right)=\cos \left(\beta \right)$

, entonces:

$$sen\left(\alpha \right)=\frac{\left|\vec{v}.\vec{n}\right|}{\parallel \vec{v}\parallel \parallel \vec{n}\parallel }$$

Por lo tanto:

$$\alpha =arcsen\left(\frac{\left|\overrightarrow{v}.\overrightarrow{n}\right|}{\parallel \vec{v}\parallel \parallel \vec{n}\parallel }\right),0\le \alpha \le \frac{\pi }{2}ánguloentrerectayplano$$

Casos particulares:

• Si $\alpha =0$

, entonces la recta es paralela al plano ($\overrightarrow{v}.\overrightarrow{n}=0$

).

Si $\alpha =\frac{\pi }{2}$

, entonces la recta es perpendicular al plano ($\overrightarrow{v}=k\overrightarrow{n}$

• ).

Ejemplo

Hallar el ángulo entre el plano $\pi :x+z–8=0$

y el eje $x$

.

Conocemos el vector normal de $\pi$

y el vector director de la recta. Luego aplicamos directamente la fórmula:

$$\alpha =arcsen\left(\frac{\left|\overrightarrow{v}.\overrightarrow{n}\right|}{\parallel \vec{v}\parallel \parallel \vec{n}\parallel }\right)=arcsen\left(\frac{\left|\left(1,0,0\right).\left(1,0,1\right)\right|}{\sqrt{2}}\right)=arcsen\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\frac{\pi }{4}$$

Intersección de rectas en $R^3$

Sabemos que dos rectas en $R^2$

o bien se cortan en un único punto o bien son paralelas.

Pero en $R^3$

, además de estos dos casos, existen rectas que ni se cortan ni son paralelas: son las rectas alabeadas.

Tenemos entonces tres casos en $R^3$

:

Caso 1: Rectas concurrentes o incidentes

$$r_1\cap r_2=\left\{P\right\}$$

Caso 2: Rectas paralelas

$$r_1\parallel r_2\iff {\vec{v}}_1=k{\vec{v}}_2$$

Las rectas paralelas podrían ser coincidentes. Para verificar si dos rectas paralelas son coincidentes basta con ver si un punto de una de ellas pertenece o no a la otra recta.

Caso 3: Rectas alabeadas

Existe otra posición posible para las rectas en $R^3$

. Consideremos el siguiente esquema en el que las rectas $r_1$, $r_2$ y $r_3$

contienen a las aristas de un cubo:

Las rectas $r_1$

y $r_3$ son paralelas. En cambio $r_1$ y $r_2$

, que no son paralelas ni concurrentes, se denominan alabeadas.

Ejemplo

Hallar la intersección entre las rectas:

$$r_1:\left(x,y,z\right)=\left(–2,1,3\right)+\alpha \left(1,4,5\right)$$

$$r_2:\left(x,y,z\right)=\left(1,0,–2\right)+\beta \left(0,3,–1\right)$$

Para buscar la intersección, escribimos las ecuaciones paramétricas de las rectas y luego igualamos:

$$r_1:\{\begin{array}{c}x=–2+\alpha \\ y=1+4\alpha \\ z=3+5\alpha \end{array},r_2:\{\begin{array}{c}x=1\\ y=3\beta \\ z=–2–\beta \end{array}$$

$$\Rightarrow \{\begin{array}{c}–2+\alpha =1\\ 1+4\alpha =3\beta \\ 3+5\alpha =–2–\beta \end{array}$$

Nos queda un sistema de tres ecuaciones y dos incógnitas.

De la primera ecuación se obtiene: $\alpha =3$

Reemplazando $\alpha =3$

en la segunda ecuación, resulta: $\beta =\frac{13}{3}$

Pero si sustituimos ambos valores en la tercera ecuación:

$$3+5.3=–2–\frac{13}{3}$$

$$18=–\frac{19}{3}$$

Como esto es falso, el sistema es incompatible. Habíamos descartado paralelismo, por lo tanto podemos afirmar que las rectas son alabeadas.

Observación: Los sistemas que tienen más ecuaciones que incógnitas se denominan sobredeterminados y en general son incompatibles.

Ejemplo

Hallar la intersección entre las rectas:

$$r_1:\left(x,y,z\right)=\lambda \left(1,0,1\right)$$

$$r_2:\left(x,y,z\right)=\beta \left(–1,1,0\right)+\left(0,1,1\right)$$

Observemos que los vectores directores de las rectas no son paralelos, luego las rectas no pueden ser paralelas. Podrían intersecarse o ser alabeadas.

Escribimos las ecuaciones paramétricas de las rectas e igualamos:

$$r_1:\{\begin{array}{c}x=\lambda \\ y=0\\ z=\lambda \end{array},r_2:\{\begin{array}{c}x=–\beta \\ y=\beta +1\\ z=1\end{array}$$

$$\{\begin{array}{c}\lambda =–\beta \\ 0=\beta +1\\ \lambda =1\end{array}\Rightarrow \lambda =1\wedge \beta =–1$$

Como el sistema tiene solución, podemos afirmar que las rectas se intersecan, o sea son concurrentes. Para averiguar en qué punto se cortan, podemos reemplazar $\lambda =1$

en las ecuaciones paramétricas de $r_1$ o $\beta =–1$ en las ecuaciones paramétricas de $r_2$. Así obtenemos el punto de intersección $P\left(1,0,1\right).$

Observación: En este ejemplo, las rectas se cortan en el punto $P\left(1,0,1\right)$

. En $r_1$, el punto $P$ se corresponde con $\lambda =1$. En cambio en $r_2$, $P$ se corresponde con $\beta =–1$. Por lo tanto, cuando buscamos la intersección entre dos rectas debemos utilizar letras diferentes para indicar los respectivos parámetros. Noten que si hubiéramos utilizado el parámetro $\lambda$ para las dos rectas, habríamos obtenido un absurdo: $\lambda =1y\lambda =–1$

y esto nos habría inducido a error.

Plano que contiene a dos rectas

Dos rectas en $R^3$

se denominan coplanares si existe un plano que contiene a ambas rectas.

Habíamos visto que dos rectas en $R^3$

pueden ser concurrentes, paralelas o alabeadas. Veamos en qué casos es posible encontrar un plano que las contenga:

Caso 1: Rectas concurrentes

Veamos el siguiente gráfico que muestra dos rectas concurrentes:

Dadas dos rectas concurrentes $r_1$

y $r_2$

, ¿cómo podemos encontrar el vector normal del plano?

$${\vec{v}}_1\times {\vec{v}}_2=\vec{n}$$

Para completar la ecuación del plano, tomamos un punto P de cualquiera de las dos rectas.

Ejemplo

$$r_1:\left(x,y,z\right)=\left(1,1,1\right)+t\left(0,1,2\right)$$

$r_2:$

Recta que pasa por$A\left(0,1,–1\right)yB\left(1,2,z_0\right)$

Hallar $z_0$

para que las rectas sean concurrentes y encontrar el plano que las contiene.

Resolución

Construyamos una ecuación vectorial de la recta $r_2$

:

Escribimos las ecuaciones paramétricas de cada recta:

$$r_1:\{\begin{array}{c}x=1\\ y=1+t\\ z=1+2t\end{array},r_2:\{\begin{array}{c}x=\lambda \\ y=1+\lambda \\ z=–1+\left(1+z_0\right)\lambda \end{array}$$

Igualamos:

$$\{\begin{array}{c}1=\lambda \\ 1+t=1+\lambda \\ 1+2t=–1+\lambda \left(z_0+1\right)\end{array}$$

De las dos primeras ecuaciones, se obtiene $t=\lambda =1$

Reemplazamos en la tercera ecuación y despejamos $z_0$

:

$$3=–1+z_0+1\Rightarrow z_0=3$$

Para $z_0=3$

las rectas se cortan.

¿Cuál es el punto de intersección? Reemplazamos por $t=1$

en la ecuación de la primera recta:

$$r_1\cap r_2=\left\{\left(1,2,3\right)\right\}$$

Para obtener la ecuación del plano que contiene a las rectas, buscamos el vector normal:

$$\vec{n}=\overrightarrow{v_1}\times \overrightarrow{v_2}=\left|\begin{array}{ccc}i& j& k\\ 0& 1& 2\\ 1& 1& 4\end{array}\right|=\left(2,2,–1\right)$$

$$\pi :2x+2y–z+d=0$$

Para averiguar $d$

reemplazamos un punto que pertenezca al plano. Puede ser cualquier punto de las rectas, por ejemplo $\left(1,1,1\right)$

:

$$2.1+2.1–1.1+d=0\Rightarrow d=–3$$

$$\pi :2x+2y–z–3=0$$

Caso 2: Rectas paralelas

Veamos el siguiente gráfico que muestra dos rectas paralelas y el plano que las contiene:

Dadas dos rectas paralelas, existe un plano que las contiene pero no podemos hallar el vector normal como en el caso de las rectas concurrentes. ¿Por qué?

Ejemplo

$$r_1:\left(x,y,z\right)=\left(1,2,3\right)+\lambda \left(–1,1,4\right)$$

$$r_2:\left(x,y,z\right)=\left(1,0,0\right)+t\left(3,–3,–12\right)$$

Claramente son paralelas pues sus vectores directores son paralelos:

$\left(3,–3,–12\right)=–3.\left(–1,1,4\right)$

.

El lector puede comprobar que $\left(–1,1,4\right)\times \left(3,–3,–12\right)=\vec{0}$

, entonces el vector normal del plano no puede hallarse con este producto vectorial.

Para hallar el vector normal, consideramos uno de los vectores directores y un vector $\overrightarrow{P_1{P}_2}$

determinado por un punto de cada recta, como muestra la figura:

El producto vectorial de ambos da un vector normal al plano:

$$\vec{n}=\vec{v}\times \overrightarrow{P_1{P}_2}$$

Para completar la ecuación del plano, consideramos un punto de cualquiera de las rectas. Así obtenemos la ecuación del plano que contiene a las rectas dadas:

$$\pi :5x–3y+2z–5=0$$

Caso 3: Rectas alabeadas

Dos rectas alabeadas no pueden estar contenidas en un mismo plano.

Ejemplo

Hallar, si es posible, el plano que contiene a las rectas:

$$r_1:\left(x,y,z\right)=\lambda \left(1,0,0\right)$$

$$r_2:\left(x,y,z\right)=\left(0,1,0\right)+t\left(0,0,1\right)$$

Dejamos a cargo del lector la verificación de que son alabeadas. Busquemos un vector perpendicular a ambas rectas:

$$\vec{n}=\left(1,0,0\right)\times \left(0,0,1\right)=\left(0,–1,0\right)$$

Considerando el punto $\left(0,0,0\right)$

perteneciente a $r_1$

, obtenemos el siguiente plano:

$$\pi :y=0$$

Sin embargo, este plano no contiene a $r_2$

, pues el punto $\left(0,1,0\right)$ no verifica la ecuación de $\pi$

.

Sugerimos al lector hacer una gráfico de las rectas y el plano obtenido, para visualizar la situación.

No es posible hallar un plano que contenga a dos rectas alabeadas. Las rectas alabeadas no son coplanares.

Ángulo entre dos rectas

Definición: El ángulo entre dos rectas de $R^3$

es el ángulo entre sus vectores directores.

Sean las rectas $r_1$

y $r_2$ con vectores directores $\overrightarrow{v_1}$ y $\overrightarrow{v_2}$

. . Entonces:

$$\cos \left(\alpha \right)=\frac{\overrightarrow{v_1}.\overrightarrow{v_2}}{\parallel \overrightarrow{v_1}\parallel \parallel \overrightarrow{v_2}\parallel }$$

Usamos la misma convención que para ángulo entre planos y para ángulo entre recta y plano, y aplicamos módulo:

$$\cos \left(\alpha \right)=\frac{\left|\overrightarrow{v_1}.\overrightarrow{v_2}\right|}{\parallel \overrightarrow{v_1}\parallel \parallel \overrightarrow{v_2}\parallel }$$

Por lo tanto:

$$\alpha =arcos\left(\frac{\left|\overrightarrow{v_1}.\overrightarrow{v_2}\right|}{\parallel \overrightarrow{v_1}\parallel \parallel \overrightarrow{v_2}\parallel }\right),0\le \alpha \le \frac{\pi }{2}ánguloentredosrectas$$

Casos particulares:

Si $\alpha =0$

, entonces las rectas son paralelas ($\overrightarrow{v_1}=k\overrightarrow{v_2}$

).

Si $\alpha =\frac{\pi }{2}$

, entonces las rectas son perpendiculares ($\overrightarrow{v_1}.\overrightarrow{v_2}=0$

).

Observación: La definición de ángulo que hemos adoptado no toma en cuenta si las rectas se cortan o no.

Ejemplo

Sean,

$$r_1:\left(x,y,z\right)=\lambda \left(1,0,0\right)\lambda \in R$$

$$r_2:\left(x,y,z\right)=\left(0,1,0\right)+t\left(0,0,1\right)t\in R$$

Vimos en un ejemplo anterior que estas rectas son alabeadas. ¿Cuál es el ángulo entre ellas?

Como $\overrightarrow{v_1}.\overrightarrow{v_2}=0$

, las rectas son perpendiculares, o sea que $\alpha =\frac{\pi }{2}$