sábado, 9 de noviembre de 2024

function f(x,y)
    4*exp(0.8*x) - (0.5*y)
end

    f (generic function with 1 method)

Métodos explícitos de Runge-Kutta (RK)

Los métodos explícitos tienen la siguiente forma generalizada

\begin{aligned} k_{1} & = f (t_{n}, y_{n}) \\ k_{2} & = f (t_{n} + c_{2} h, y_{n} + h (a_{21} k_{1})) \\ k_{3} & = f (t_{n} + c_{3} h, y_{n} + h (a_{31} k_{1} + a_{32} k_{2})) \\ ⋮ \\ k_{s} & = f (t_{n} + c_{s} h, y_{n} + h (a_{s 1} k_{1} + a_{s 2} k_{2} + \dots + a_{s, s - 1} k_{s - 1})) \\ y_{n + 1} & = y_{n} + h \sum_{i = 1}^{s} b_{i} k_{i} \end{aligned}

Las ecuaciones anteriores pueden representarse usando la tabla de Butcher

\begin{array}{ccc} 0 \\ c_{2} & a_{21} \\ c_{3} & a_{31} & a_{32} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ \\ c_{s} & a_{s 1} & a_{s 2} & \dots & a_{s, s - 1} \\ b_{1} & b_{2} & \dots & b_{s - 1} & b_{s} \end{array}

Clasificación

Se clasifican según su orden de aproximación

RKp

RK1 Método de primer orden

RK2 Método de segundo orden

RK3 Método de tercer orden

RK4 Método de cinco cuarto orden

RK5 Método de quinto orden

También se clasifican por el número de etapas (stages)

\begin{array}{cccccccccccc} Orden p & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ Etapas s & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 \\ Parámetros & 1 & 3 & 6 & 10 & 15 & 21 & 28 & 36 & 45 & 55 & 66 \\ Condiciones & 1 & 2 & 4 & 8 & 17 & 37 & 85 & 200 \end{array}