Ecuaciones diferenciales lineales con amplificadores operacionales

http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/manizales/4040015/lecciones/Capitulo3/lineales.html

http://blog.utp.edu.co/jnsanchez/files/2014/02/Amplificadores-operacionales.pdf

Ecuaciones diferenciales lineales

Se puede aplicar el método expuesto anteriormente para la solución de ecuaciones diferenciales lineales ordinarias. Para ello se hace la transformación adecuada a variables de estado y de allí se obtiene la solución en tiempo real utilizando redes con amplificadores operacionales. Sea la ecuación diferencial dada por (4.4.27) donde el superíndice (i) denota la i−ésima derivada y ai, bi son números reales conocidos. En este caso se tiene una ecuación diferencial lineal ordinaria de orden n. Tomando la transformada de Laplace, con condiciones iniciales cero, conduce a la respuesta en el dominio de la frecuencia. (4.4.28) Para encontrar la realización en la forma de variables de estado, cada estado corresponde a la salida de un integrador pues es en los integradores en donde se almacena la energía del sistema. La ecuación de estado en forma de controlabilidad se escribe por inspección a partir de la función de transferencia dada en la ecuación 4.4.28 asumiendo que el sistema es estrictamente propio, es decir, m ≤ n − 1. La función de transferencia, entonces se transforma en n ecuaciones diferenciales de primer orden [33], (4.4.29) donde . La realización se desarrolla utilizando n integradores y hasta dos sumadores. Para el cálculo de los parámetros que representan los coeficientes ai, bj , se utiliza el mismo procedimiento empleado antes para resolver el problema algebraico. En los siguientes ejemplos se muestra el procedimiento para la realización de los circuitos con AOs. Ejemplo 13 Resolver la siguiente ecuación diferencial utilizando redes con AOs. En este caso la ecuación de estado conduce a de donde Por lo tanto, Si se toma Zi = 20kΩ, entonces La implementación de la red correspondiente se muestra en la Fig. 4.14. La solución a la ecuación diferencial se puede ver en la salida del circuito (punto A), cuya respuesta temporal se observa en la Fig. 4.15. Figura 4.14: Implementación en tiempo real de la ecuación Figura 4.15: Respuesta en el tiempo de la ecuación diferencial Adicionalmente se puede obtener la respuesta frecuencial, tanto en la salida como en algunos puntos internos del sistema. En las gráficas de la Fig. 4.16 se puede observar la respuesta frecuencial en algunos puntos del sistema. El punto A corresponde a la salida del sistema, donde la función se ha integrado dos veces. Nótese que representa la respuesta de un filtro pasa bajas. Las respuestas en los puntos B y C corresponden a un filtro pasa banda y pasa altas respectivamente. Figura 4.16: Respuesta en frecuencia. A: salida (dos integraciones), B: una integración, C:no integración. Ejemplo 14 La ecuación diferencial que describe el comportamiento lineal de la entrada vs la salida de una transmisión hidráulica acoplada a través de un resorte a su carga, está dada por (4.4.30) donde u(t) es la barra de control (entre ±1) e y(t) es el ángulo de salida del motor. Realizar la implementación de este sistema utilizando redes con AOs. Solución. La función de transferencia se obtiene por inspección como Por lo tanto, el sistema tiene un polo real en s = −1, el cual corresponde a la constante de tiempo del motor hidráulico τ=1s, y un par de polos complejos en s=−5±j2, correspondiente al comportamiento de alta frecuencia del resorte acoplador. Hay dos ceros en s = ±j. El sistema puede realizarse inicialmente utilizando la teoría de variables de estado y luego, el procedimiento desarrollado más arriba. La ecuación diferencial en variables de estado será: En este caso hay dos sumadores, uno conectado a la entrada para acumular las realimentaciones desde los integradores y el otro conectado a la salida para adicionar las excitaciones. El procedimiento de diseño es el mismo en ambos casos. Para el diseño del sumador de entrada se toma la ecuación lineal Aplicando el procedimiento anterior Por lo tanto, Si se toma Zi = 10kΩ, entonces Falta determinar los componentes del circuito sumador de salida. Para ello se utiliza la expresión (??), es decir, En este caso B = 0 por lo que los demás parámetros serán: Entonces, tomando como antes, Zi = 10kΩ, se obtiene: La implementación de la red correspondiente se muestra en la Fig. 4.17. La solución a la ecuación diferencial se puede ver en la salida del circuito (punto A), cuya respuesta temporal se observa en la Fig. 4.18. En la Fig. 4.19, se muestra la simulación realizada en Matlab del ejemplo anterior, para efectos de comparación con el resultado obtenido. Figura 4.17: Red analógica que permite resolver una ecuación diferencial lineal ordinaria. Figura 4.18: Respuesta obtenida de la ecuación diferencial. Figura 4.19: Simulación en Matlab de la ecuación diferencial del ejemplo.