Diseño Electrónico: Producto vectorial

Producto vectorial - Explicación

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Producto vectorial

Seguimos con el producto de dos vectores, pero esta vez vamos a multiplicarlos de otra manera. Antes vimos que el producto escalar de dos vectores da como resultado un escalar (un número); ahora vamos a multiplicar dos vectores de manera que su producto dé como resultado un vector. Para distinguir ambos productos utilizamos un signo diferente en cada caso: el producto escalar de $\vec{a}$ y $\vec{b}$ lo hemos representado como $\vec{a} \cdot \vec{b}$ ; el producto vectorial lo representaremos como $\vec{a} \times \vec{b}$ (en algunas ocasiones lo verás también escrito como $\vec{a} \land \vec{b}$ ). No los confundas. Y, sobre todo, recuerda que el producto escalar da como resultado un número, mientras que el producto vectorial que vamos a estudiar ahora da como resultado un vector.
Como acabamos de decir, el producto vectorial de dos vectores da como resultado otro vector. ¿Cómo es este vector?

Definición de producto vectorial

Dados dos vectores $\vec{a}$ y $\vec{b}$ , su producto vectorial $\vec{a} \times \vec{b}$ es un vector que tiene las siguientes características:

Su módulo es el producto de los módulos de los vectores por el seno del ángulo $α$ que forman: $| \vec{a} \times \vec{b} | = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot sen α$ .
Su dirección es perpendicular al plano que forman $\vec{a}$ y $\vec{b}$ .
El sentido viene determinado por el avance de un sacacorchos que gire desde $\vec{a}$ hasta $\vec{b}$ por el camino más corto.

Vamos a analizar con más detalle estos elementos.

Módulo de $\vec{a} \times \vec{b}$

El módulo del producto vectorial de $\vec{a}$ por $\vec{b}$ es:

$| \vec{a} \times \vec{b} | = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot sen α$

El hecho de que en el módulo aparezca el seno del ángulo que forman los vectores tiene una importante consecuencia. Si $\vec{a}$ y $\vec{b}$ son paralelos, entonces el ángulo que forman es $0^{\circ}$ o $180^{\circ}$ . En ambos casos, el seno de dicho ángulo es cero y, por tanto, el módulo de $\vec{a} \times \vec{b}$ también es cero. Y el único vector cuyo módulo vale cero es el vector nulo. En consecuencia, el producto vectorial de dos vectores paralelos es el vector nulo:

$\vec{a} ∥ \vec{b} \Rightarrow \vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}$

Dirección de $\vec{a} \times \vec{b}$

Como

\vec{a} \times \vec{b}

es un vector, además de su módulo debemos conocer su dirección. Para ello tenemos primero que determinar cuál es el plano que forman los vectores

\vec{a}

\vec{b}

. Es decir, tenemos que identificar cuál es el plano que contiene a ambos vectores. Una vez determinado este plano la dirección de

\vec{a} \times \vec{b}

es fácil de obtener: el producto vectorial es perpendicular a dicho plano.

La dirección del producto vectorial es perpendicular al plano que forman los vectores.

Sentido de $\vec{a} \times \vec{b}$

Acabamos de determinar la dirección de $\vec{a} \times \vec{b}$ . Pero toda dirección tiene dos posibles sentidos. ¿Cuál es el sentido que le corresponde al vector $\vec{a} \times \vec{b}$ ? Para determinarlo recurrimos a la llamada “regla del sacacorchos”. Imagínate un sacacorchos que gire desde $\vec{a}$ hasta $\vec{b}$ (en este orden porque estamos haciendo el producto $\vec{a} \times \vec{b}$ ) por el camino más corto. En la dirección que hemos determinado previamente, ¿hacia dónde avanza el sacacorchos? El sentido de avance del sacacorchos nos da el sentido del vector $\vec{a} \times \vec{b}$ .

El sentido del producto vectorial viene determinado por la regla del sacacorchos.

En lugar del sacacorchos puedes usar un destornillador, el tapón de una botella, un tornillo, una bombilla… Escoge el instrumento que te resulte más familiar, todos “funcionan” igual.

Regla del sacacorchos (Imagen: Freepik / Beatriz Padín).

Para pensar
Aplicando la definición del producto vectorial, ¿podrías decir cuánto valen los siguientes productos de los vectores unitarios?: $\vec{i} \times \vec{i}$ , $\vec{j} \times \vec{j}$ , $\vec{k} \times \vec{k}$ , $\vec{i} \times \vec{j}$ , $\vec{j} \times \vec{k}$ y $\vec{k} \times \vec{i}$ .

Propiedad anticonmutativa

Si quieres enroscar una bombilla en una lámpara que cuelga del techo, giras la bombilla en un sentido. Y si la quieres desenroscar para quitarla, debes girar en sentido contrario.

Si se invierte el sentido de giro, la bombilla baja en lugar de subir (Imagen: Freepik / Beatriz Padín).

Lo mismo sucede con el producto vectorial. Si hacemos el producto

\vec{a} \times \vec{b}

, la regla del sacacorchos determina el sentido de dicho producto. Pero si calculamos el producto

\vec{b} \times \vec{a}

, de acuerdo con la regla del sacacorchos el resultado va a tener sentido contrario al caso anterior ya que, ahora, en lugar de girar de

\vec{a}

\vec{b}

debemos girar de

\vec{b}

\vec{a}

El sentido de $\vec{b} \times \vec{a}$ es contrario al de $\vec{a} \times \vec{b}$ .

Por lo demás es fácil comprobar que ambos vectores, $\vec{a} \times \vec{b}$ y $\vec{b} \times \vec{a}$ , tienen el mismo módulo y la misma dirección. En consecuencia, como tienen el mismo módulo, la misma dirección y sentido contrario, son vectores opuestos. Por tanto:

$\vec{a} \times \vec{b} = - \vec{b} \times \vec{a}$

Es decir, el producto vectorial es anticonmutativo.

Cálculo del producto vectorial

Vamos a hacer con el producto vectorial lo mismo que hicimos con el producto escalar: después de definirlo veamos cómo calcularlo analíticamente. Este es un poco más complejo, así que vamos despacito para no perdernos.
Si $a = a_{x} \vec{i} + a_{y} \vec{j} + a_{z} \vec{k}$ y $\vec{b} = b_{x} \vec{i} + b_{y} \vec{j} + b_{z} \vec{k}$ , entonces el producto vectorial $\vec{a} \times \vec{b}$ se obtiene calculando el siguiente determinante:

$\vec{a} \times \vec{b} = | \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_{x} & a_{y} & a_{z} \\ b_{x} & b_{y} & b_{z} \end{matrix} |$

El determinante que nos permite calcular el producto $\vec{a} \times \vec{b}$ está formado por distintos elementos organizados en tres filas y tres columnas, representados entre dos barras verticales. El significado de las filas es inmediato: en la primera fila están los vectores unitarios $\vec{i}$ , $\vec{j}$ y $\vec{k}$ , en la segunda fila van las coordenadas del vector $\vec{a}$ y en la tercera fila van las coordenadas del vector $\vec{b}$ . No cambies de orden las filas, recuerda que en el producto vectorial el orden es importante.

En la primera fila se sitúan los vectores unitarios, en la segunda las coordenadas de $\vec{a}$ y en la tercera las coordenadas de $\vec{b}$ .

En esta introducción al cálculo vectorial vamos a ver simplemente cómo se calcula el determinante anterior; su significado ya lo verás más adelante cuando estudies las matrices. Si ya sabes cómo calcularlo, puedes saltarte la siguiente explicación.

Diagonales de un determinante

Antes de describir cómo se calcula el valor del determinante debemos identificar las llamadas diagonales. Un determinante tiene dos diagonales: la principal y la secundaria. La diagonal principal está formada por los elementos que van de la esquina superior izquierda a la esquina inferior derecha (en color azul en la imagen). La diagonal secundaria va de la esquina superior derecha a la esquina inferior izquierda (en color rojo).
A la diagonal principal le hemos asociado el signo $+$ y a la secundaria el signo $-$ ; enseguida veremos el significado de estos signos.

Diagonal principal y diagonal secundaria de un determinante.

Regla de Sarrus

Una vez situados los elementos del determinante (recuerda: primera fila, vectores unitarios; segunda fila, coordenadas del primer vector; tercera fila, coordenadas del segundo vector), para calcular su valor recurrimos a la llamada regla de Sarrus. Según esta regla debemos multiplicar los elementos del determinante y sumar los productos de la siguiente manera:

Empezamos multiplicando los elementos de la diagonal principal (¿te fijas que en este producto estamos tomando un único elemento de cada fila y de cada columna?), $a_{y} \cdot b_{z} \cdot \vec{i}$ .
A este producto le sumamos el siguiente producto: multiplicamos los dos elementos que están justo por debajo de la diagonal principal y el elemento de la esquina superior derecha (de nuevo, en el producto aparece un único elemento de cada fila y de cada columna), $a_{x} \cdot b_{y} \cdot \vec{k}$ .
Sumamos un tercer producto: el resultado de multiplicar los dos elementos que están justo por encima de la diagonal principal y el elemento de la esquina inferior izquierda, $a_{z} \cdot b_{x} \cdot \vec{j}$ .
Pasamos ahora a la dirección determinada por la diagonal secundaria, con lo que ahora vamos a restar en lugar de sumar: restamos el producto de los elementos de la diagonal secundaria, $a_{y} \cdot b_{x} \cdot \vec{k}$ .
Seguimos restando: multiplicamos los dos elementos que están justo por debajo de la diagonal secundaria y el elemento de la esquina superior izquierda, $a_{z} \cdot b_{y} \cdot \vec{i}$ .
Por último, restamos el resultado de multiplicar los dos elementos que están justo por encima de la diagonal secundaria y el elemento de la esquina inferior derecha, $a_{x} \cdot b_{z} \cdot \vec{j}$ .

Regla de Sarrus para obtener el valor de un determinante.

Agrupando los términos semejantes, finalmente el resultado queda así:

$\vec{a} \times \vec{b} = | \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_{x} & a_{y} & a_{z} \\ b_{x} & b_{y} & b_{z} \end{matrix} | =$

$= a_{y} \cdot b_{z} \cdot \vec{i} + a_{x} \cdot b_{y} \cdot \vec{k} + a_{z} \cdot b_{x} \cdot \vec{j} - a_{y} \cdot b_{x} \cdot \vec{k} - a_{z} \cdot b_{y} \cdot \vec{i} - a_{x} \cdot b_{z} \cdot \vec{j} =$ $= (a_{y} \cdot b_{z} - a_{z} \cdot b_{y}) \vec{i} + (a_{z} \cdot b_{x} - a_{x} \cdot b_{z}) \vec{j} + (a_{x} \cdot b_{y} - a_{y} \cdot b_{x}) \vec{k}$

Este vector es el resultado de multiplicar vectorialmente los vectores $\vec{a}$ y $\vec{b}$ .

Ejemplo
Calcula el producto vectorial de los vectores $\vec{a} = \vec{i} + \vec{j} + \vec{k}$ y $\vec{b} = - 2 \vec{i} + \vec{k}$ .

Solución:

$\vec{a} \times \vec{b} = | \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ - 2 & 0 & 1 \end{matrix} | = \vec{i} + 0 \vec{k} - 2 \vec{j} + 2 \vec{k} - 0 \vec{i} - \vec{j} = \vec{i} - 3 \vec{j} + 2 \vec{k}$

Ideas clave

➯ El producto vectorial de dos vectores

\vec{a}

\vec{b}

es un vector que tiene las siguientes características:

Su módulo es el producto de los módulos de los vectores por el seno del ángulo que forman: $| \vec{a} \times \vec{b} | = a \cdot b \cdot sen α$ .
Su dirección es perpendicular al plano que forman $\vec{a}$ y $\vec{b}$ .
El sentido viene determinado por el avance de un sacacorchos que gire desde $\vec{a}$ hasta $\vec{b}$ por el camino más corto.

➯ Si $\vec{a} = a_{x} \vec{i} + a_{y} \vec{j} + a_{z} \vec{k}$ y $\vec{b} = b_{x} \vec{i} + b_{y} \vec{j} + b_{z} \vec{k}$ , entonces el producto vectorial $\vec{a} \times \vec{b}$ se calcula resolviendo el determinante:

$\vec{a} \times \vec{b} = | \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_{x} & a_{y} & a_{z} \\ b_{x} & b_{y} & b_{z} \end{matrix} |$

➯ Si dos vectores son paralelos entonces su producto vectorial es cero.
➯ El producto vectorial no es conmutativo: $\vec{a} \times \vec{b} = - \vec{b} \times \vec{a}$ .

Ejercicios

Ejercicio 1

Comprueba, con los vectores del ejemplo, que el producto vectorial es anticonmutativo.

Ejercicio 2

Halla el producto vectorial de los siguientes vectores unitarios:
$\vec{i} \times \vec{i}$
$\vec{j} \times \vec{j}$
$\vec{k} \times \vec{k}$
$\vec{i} \times \vec{j}$
$\vec{j} \times \vec{k}$
$\vec{k} \times \vec{i}$

$\vec{i} \times \vec{i} = \vec{j} \times \vec{j} = \vec{k} \times \vec{k} = \vec{0}$
$\vec{i} \times \vec{j} = \vec{k}$
$\vec{j} \times \vec{k} = \vec{i}$
$\vec{k} \times \vec{i} = \vec{j}$

Ejercicio 3

Halla el producto vectorial de $\vec{u} = \vec{i} + 2 \vec{j} + 3 \vec{k}$ y $\vec{v} = - \vec{i} + \vec{j} + 2 \vec{k}$ .

$\vec{u} \times v = \vec{i} - 5 \vec{j} + 3 \vec{k}$

Ejercicio 4

Comprueba, usando los vectores del ejercicio anterior, que el producto vectorial $\vec{u} \times \vec{v}$ es perpendicular a $\vec{u}$ y a $\vec{v}$ .

Física con Sage

Si necesitas información sobre el lenguaje SageMath o sobre cómo funcionan las celdas Sage, ve al apartado SageMath del menú principal.

Programa #1
Usando como ayuda los programas anteriores, escribe un programa que calcule el producto vectorial de dos vectores dadas sus coordenadas.

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Diseño Electrónico

lunes, 2 de septiembre de 2024

Producto vectorial - Explicación

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Producto vectorial

Definición de producto vectorial

Módulo de $\vec{a} \times \vec{b}$

Dirección de $\vec{a} \times \vec{b}$

Sentido de $\vec{a} \times \vec{b}$

Propiedad anticonmutativa

Cálculo del producto vectorial

Diagonales de un determinante

Regla de Sarrus

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Ejercicios

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Definición de producto vectorial

Módulo de →a×→ba→×b→

Dirección de →a×→ba→×b→

Sentido de →a×→ba→×b→

Propiedad anticonmutativa

Cálculo del producto vectorial

Diagonales de un determinante

Regla de Sarrus

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Módulo de $\vec{a} \times \vec{b}$

Dirección de $\vec{a} \times \vec{b}$

Sentido de $\vec{a} \times \vec{b}$