EL NÚMERO DE ORO
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Un
número nada fácil de imaginar que convive con la humanidad porque
aparece en la naturaleza y desde la época griega hasta nuestros días
en el arte y el diseño. Es el llamado número de oro (representado
habitualmente con la letra griega
 )
o también sección áurea, proporción áurea o razón áurea. |
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Tres números con nombre
Hay
tres números de gran importancia en matemáticas y que "paradójicamente"
nombramos con una letra. Estos números son:
Los
tres números tienen infinitas cifras decimales y no son periódicos
(sus cifras decimales no se repiten periódicamente). A estos números se
les llama irracionales. Cuándo se utilizan se escriben solamente unas
cuantas cifras decimales (en los tres ejemplos de arriba hemos tomado
5).
Una
diferencia importante desde el punto de vista matemático entre los dos
primeros y el número de oro es que los primeros no son solución de
ninguna ecuación polinómica (a estos números se les llama
trascendentes), mientras que el número de oro si que lo es.
Efectivamente, una de las soluciones de la ecuación de segundo grado
es 
que da como resultado el número de oro.
La sección áurea y el número de oro
La
sección áurea es la división armónica de una segmento en media y
extrema razón. Es decir, que el segmento menor es al segmento mayor,
como este es a la totalidad. De esta manera se establece una relación
de tamaños con la misma proporcionalidad entre el todo dividido en
mayor y menor. Esta proporción o forma de seleccionar proporcionalmente
una línea se llama proporción áurea.
Tomemos
un segmento de longitud uno y hagamos en el la división indicada
anteriormente
Aplicando
la proporción áurea obtenemos la siguiente ecuación que tendremos que
resolver
Una
de las soluciones de esta ecuación (la solución positiva) es x=
 .
Lo
sorprendente ahora es calcular el valor que se obtiene al dividir el
segmento mayor entre el menor,
Es
decir, la relación entre las dos partes en que dividimos el segmento es
el número de oro.
El rectángulo áureo
Dibujamos
un cuadrado y marcamos el punto medio de uno de sus lados. Lo unimos con
uno de los vértices del lado opuesto y llevamos esa distancia sobre el
lado inicial, de esta manera obtenemos el lado mayor del rectángulo.
Si
el lado del cuadrado vale 2 unidades, es claro que el lado mayor del
rectángulo vale
por lo que la proporción entre los dos lados es
(nuestro número de oro).
Obtenemos
así un rectángulo cuyos lados están en proporción áurea. A partir
de este rectángulo podemos construir otros semejantes que, como veremos
mas adelante, se han utilizando en arquitectura (Partenón, pirámides
egipcias) y diseño (tarjetas de crédito, carnets, cajetillas de
tabaco, etc...).
Una
propiedad importante de los triángulos áureos es que cuando se colocan
dos iguales como indica la figura, la diagonal AB pasa por el vértice
C.
 En
efecto, situemos los rectángulos en unos ejes de coordenadas con origen
en el punto A. Las coordenadas de los tres puntos serán entonces:
Vamos a
demostrar que los vectores
y 
son proporcionales: Por lo tanto, los tres puntos están alineados. Pitágoras y el número de oro
Pitágoras (c. 582-c. 500 a.C.), filósofo y matemático griego, nació en la isla
de Samos.
 Fue instruido en las enseñanzas de los primeros filósofos
jonios Tales de Mileto,
Anaximandro
y Anaxímenes.
Se dice que Pitágoras había sido condenado a exiliarse de Samos por su
aversión a la tiranía de Polícrates. Hacia el 530 a.C. se instaló en
Crotona, una colonia griega al sur de Italia, donde fundó un movimiento
con propósitos religiosos, políticos y filosóficos, conocido como
pitagorismo. La filosofía de Pitágoras se conoce sólo a través de la
obra de sus discípulos.
Los
pitagóricos asumieron ciertos misterios, similares en muchos puntos a
los enigmas del orfismo.
Aconsejaban la obediencia y el silencio, la abstinencia de consumir
alimentos, la sencillez en el vestir y en las posesiones, y el hábito
del autoanálisis. Los pitagóricos creían en la inmortalidad y en la trasmigración
del alma.
Se dice que el propio Pitágoras proclamaba que él había sido
Euphorbus, y combatido durante la guerra de Troya, y que le había sido
permitido traer a su vida terrenal la memoria de todas sus existencias
previas.
Entre
las amplias investigaciones matemáticas realizadas por los pitagóricos
se encuentran sus estudios de los números pares e impares y de los
números primos y de los cuadrados, esenciales en la teoría de los
números. Desde este punto de vista aritmético, cultivaron el concepto
de número, que llegó a ser para ellos el principio crucial de toda
proporción, orden y armonía en el universo. A través de estos
estudios, establecieron una base científica para las matemáticas. En
geometría el gran descubrimiento de la escuela fue el teorema de la
hipotenusa, conocido como teorema de Pitágoras, que establece que el
cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la
suma de los cuadrados de los otros dos lados.
Una
revuelta provocada en Crotona, por una asociación de ideas contrarias a
las pitagóricas, terminó con el incendio de la sede. Se cree que Pitágoras
se vio obligado a huir de Crotona y murió en Metaponto. La persecución
de los pitagóricos provocó el éxodo a la Grecia Continental, dando
lugar a la difusión de las ideas pitagóricas.
 La
estrella pentagonal o
pentágono estrellado era, según la tradición,
el símbolo de los seguidores de Pitágoras. Los pitagóricos pensaban
que el mundo estaba configurado según un orden numérico, donde sólo
tenían cabida los números fraccionarios. La casualidad hizo que en su
propio símbolo se encontrara un número raro: el numero de oro.  Por ejemplo,
la
relación entre la diagonal del pentágono y su lado es el número de
oro. 
También podemos comprobar que los segmentos QN, NP y QP están en
proporción áurea.
Ver la
sección La
trigonometría y el
número de oro.
La sucesión de Fibonacci
Consideremos
la siguiente sucesión de números:
Cada
número a partir del tercero, se obtiene sumando los dos que le
preceden. Por ejemplo, 21 = 13 + 8; el siguiente a 34 será 34 + 21 =
55.
Esta
sucesión es la llamada "sucesión de Fibonacci"*.
*Es el sobrenombre con el que se conoció al rico
comerciante Leonardo de Pisa (1170-1240). Viajó por el Norte de África
y Asia y trajo a Europa algunos de los conocimientos de la cultura
árabe e hindú, entre otros la ventaja del sistema de numeración
arábigo (el que usamos) frente al romano.
La
sucesión de Fibonacci presenta diversas regularidades numéricas. Para
que resulte más sencillo las hemos enunciado en casos particulares
(aunque se cumplen en general) y hemos calculado
los primeros catorce términos
de esta sucesión:
¡Aún las
hay más difíciles de imaginar!
1
: 1 = 1
2 : 1 = 2 3 : 2 = 1´5 5 : 3 = 1´66666666 8 : 5 = 1´6 13 : 8 = 1´625 21 :13 = 1´6153846.... 34 :21 = 1´6190476.... 55 :34 = 1´6176471.... 89 :55 = 1´6181818....
Al
tomar más términos de la sucesión
y hacer su cociente nos acercamos al número de oro. Cuanto mayores son
los términos, los cocientes se acercan más a
=1,61803....
En lenguaje matemático,
Efectivamente,
 El número de oro en el arte, el diseño y la naturaleza
El número
áureo aparece, en las proporciones que guardan
edificios, esculturas, objetos, partes de nuestro cuerpo, ...
Un
ejemplo de rectángulo áureo en el arte es el alzado del Partenón
griego.
En
la figura se puede comprobar que AB/CD=
.
Hay más cocientes entre sus medidas que dan el número áureo, por
ejemplo: AC/AD=
y CD/CA=. Hay
un precedente a la cultura griega donde también apareció el número de
oro. En La Gran Pirámide de Keops, el cociente entre la altura
de uno de los tres triángulos que forman la pirámide y el lado es 2. Ya
vimos que el cociente entre la diagonal de un
pentágono regular y el lado de dicho pentágono
es el número áureo. En un pentágono regular está basada la
construcción de la Tumba Rupestre de Mira en Asia Menor.  Ejemplos
de rectángulos áureos los podemos encontrar en las tarjetas de
crédito, en nuestro carnet de identidad y también en las cajetillas de
tabaco.
Unas
proporciones armoniosas para el cuerpo, que estudiaron antes los griegos
y romanos, las plasmó en este dibujo Leonardo da Vinci.
Sirvió para ilustrar el libro La Divina Proporción
de Luca Pacioli editado en 1509.
En dicho libro se describen
cuales han de ser las proporciones de las construcciones artísticas. En
particular, Pacioli propone un hombre perfecto en el que las
relaciones entre las distintas partes de su cuerpo sean proporciones
áureas. Estirando manos y pies y haciendo centro en el ombligo se
dibuja la circunferencia. El cuadrado tiene por lado la altura del
cuerpo que coincide, en un cuerpo armonioso, con la longitud entre los
extremos de los dedos de ambas manos cuando los brazos están extendidos
y formando un ángulo de 90º con el tronco. Resulta que el cociente
entre la altura del hombre (lado del cuadrado) y la distancia del
ombligo a la punta de la mano (radio de la circunferencia) es el número
áureo.
 El cuadro
de Dalí Leda atómica, pintado en 1949,
sintetiza siglos de tradición matemática y simbólica, especialmente
pitagórica. Se trata de una filigrana basada en la proporción áurea,
pero elaborada de tal forma que no es evidente para el espectador. En el
boceto de 1947 se advierte la meticulosidad del análisis geométrico
realizado por Dalí basado en el pentagrama místico pitagórico. En
la naturaleza, aparece la proporción áurea también en el crecimiento
de las plantas, las piñas, la distribución de las hojas en un tallo,
dimensiones de insectos y pájaros y
la formación de caracolas.
La espiral
logarítmica
Si
tomamos un rectángulo áureo ABCD y le sustraemos el cuadrado AEFD cuyo
lado es el lado menor AD del rectángulo, resulta que el rectángulo
EBCF es áureo. Si después a éste le quitamos el cuadrado EBGH, el
rectángulo resultante HGCF también es áureo. Este proceso se puede
reproducir indefinidamente, obteniéndose una sucesión de rectángulos
áureos encajados que convergen hacia el vértice O de una espiral
logarítmica.
Esta curva
ha cautivado, por su belleza y propiedades, la atención de
matemáticos, artistas y naturalistas. Se le llama también espiral
equiangular (el ángulo de corte del radio vector con la curva es
constante) o espiral geométrica (el radio vector crece en progresión
geométrica mientras el ángulo polar decrece en progresión
aritmética). J. Bernoulli, fascinado por sus encantos, la llamó spira
mirabilis, rogando que fuera grabada en su tumba.
La espiral
logarítmica vinculada a los rectángulos áureos gobierna el
crecimiento armónico de muchas formas vegetales (flores y frutos) y
animales (conchas de moluscos), aquellas en las que la forma se mantiene
invariante. El ejemplo más visualmente representativo es la concha del nautilus.
|
= 3,14159....(Pi) que relaciona la longitud de la circunferencia con
su diámetro ( Longitud = 2.
.
En
esta figura sólo aparecen tres ángulos diferentes. Miden 36º, 72º y
108º. La relación entre estos ángulos es la siguiente: 72 es el doble
de 36 y 108 es el triple de 36. Hay varios tipos diferentes de triángulos
isósceles, de los cuales seleccionamos tres: los triángulos ABE, ABF y
AFG. El resto de triángulos son semejantes a alguno de estos y no
aportan información adicional. Finalmente, hay cuatro segmentos diferentes en estos triángulos,
que llamaremos: BE=a, AB=AE=b, AF=BF=AG=c y GF=d. Las longitudes de
estos segmentos cumplen: a>b>c>d.
(el numero de oro)
.
guardan unas curiosas relaciones entre si. Efectivamente, podemos
deducirlas a partir de la ecuación 
.
Si calculamos los primeros términos, podemos observar una curiosa
relación entre ellos. Calculando primero algunas potencias
.
Elevando al cuadrado los dos miembros y pasando todos los términos a la
izquierda se obtiene la ecuación final
.
Una de las soluciones de esta ecuación es nuestro número de oro 
.
Quitando denominadores y pasando todos los términos a la izquierda se
obtiene la ecuación
cuya solución positiva es el número de oro.
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