jueves, 5 de mayo de 2016

Números irracionales más famosos

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Hay tres números irracionales cuyas aplicaciones, tanto en matemáticas como en otras disciplinas, son tan numerosas e importantes que podríamos denominarlos como los irracionales más famosos. Son los números p (pi), e, f (fi), llamados número pi, número e y número de oro, respectivamente. Dos de ellos, p y f, ya eran conocidos por los griegos, varios siglos antes de Cristo; el número e es ampliamente utilizado desde el siglo XVIII.

  • Desde antigüedades muy remotas se sabe que en todas las circunferencias la relación entre su longitud y su diámetro da siempre el mismo resultado; ese resultado se ha venido designando con la letra griega p, que es la inicial de la palabra griega periferia (periferia). El valor de p ha sido una preocupación constante entre los matemáticos desde el siglo III antes de Cristo; durante muchos siglos se creyó que p era igual a alguna fracción de dos enteros y hubo muchos intentos por encontrarla, pero sólo se obtuvieron aproximaciones notables, tales como
    • p = 22/7 = 3,1428... (Arquímedes, siglo III a.C.)
    • p = 377/120 = 3,14166..., (Ptolomeo, siglo II d.C.)
    • p = 355/113 = 3,141592.., (Tsu Ch'ung-Chi, siglo V, dC)
    Quizá el caso más llamativo sea el del inglés William Shanks, que dedicó 20 años de su vida a la obtención de cifras decimales de p. A finales del siglo XIX, dio 707 decimales de p, pero, en 1945, se descubrió que había cometido un error en el decimal 528, y a partir de ahí los demás eran incorrectos.

  • En 1767 el matemático Johann Lambert demostró que p no podía expresarse en forma de fracción, es decir, que p era irracional, por lo que todos los esfuerzos se centraron ya en conseguir fórmulas cada vez mejores para dar buenas aproximaciones de p. De hecho algunas fórmulas ya habían sido obtenidas antes de demostrar la irracionalidad de p, tales como

  • Cualquier número obtenido después de un número finito de pasos a partir de enteros, usando sólo con ellos las operaciones suma, resta, multiplicación, división y radicación, se llama número algebraico (Dicho de otro modo, los números algebraicos son aquellos que son solución de alguna ecuación polinómica de coeficientes enteros.). Euler, en el siglo XVII, llamó trascendentes a los números que no eran algebraicos, es decir, trascendentes porque trascienden más allá de las operaciones habituales del álgebra. Hasta el siglo XIX no se conoció el primer número trascendente, y fue a finales de es mismo siglo, en 1882, cuando Lindemann demostró que p es trascendente.
  • El descubrimiento de Lindemann permitió resolver de paso uno de los tres problemas clásicos de la antigüedad, el de la cuadratura del círculo; al ser p trascendente, la cuadratura del círculo era imposible.
  • p aparece en muchas cuestiones que nada tienen que ver con circunferencias. Por ejemplo,
    • Imagina que tomamos al azar dos números en la serie natural (1, 2, 3, 4, ...). ¿Te imaginas cuántas posibilidades tenemos de que los números tomados no tengan ningún factor común? La respuesta es sorprendente (y difícil de obtener): En el 6/p% = 1,91% de los casos habremos cogido dos números primos entre sí (o sea, sin ningún factor común)..
    • Imagina que tomamos al azar dos números decimales positivos menores que 1. ¿Te imaginas cuánto vale la probabilidad de que esos dos números junto con el número 1 puedan ser los lados de un triángulo obtusángulo?. La respuesta vuelve a ser sorprendente: Es (p-2)/4=0'2878, luego eso será posible en el 28'78% de los casos.
  • Una anécdota curiosa sobre el número p.
    • Ocurrió en el año 1897 en Indiana, EE.UU., y el protagonista fue un médico llamado Goodwin, quien creyó haber realizado un descubrimiento sobre la relación entre el círculo y la circunferencia, lo que implicaba un impresionante resultado acerca de p. Llevó el caso al terreno político pidiendo a su representante en la Asamblea General de Indiana que presentara como proposición de Ley local el siguiente texto: "La Asamblea General del estado de Indiana decreta que se ha descubierto que el área del círculo es igual al cuadrado que tiene el lado de longitud igual al cuadrante de la circunferencia". Es inmediato deducir de ello que p=4. La proposición se presentó y pasó la aprobación de un primer comité, poniéndose con ello en marcha un procedimiento para ser aprobada por el pleno del Senado, con lo que habría adquirido el rango de ley. Afortunadamente para "los padres de las leyes", fue retirada en el último momento, con lo que se evitó caer en un ridículo que habría adquirido el rango de histórico.

  • Ver más sobre el número p

El número e, y su eterna compañera la función logaritmo neperiano, tienen numerosas aplicaciones en todas las ramas de la ciencia, la economía, etc. Antes de indicar algunas de ellas, veamos 3 definiciones, diferentes pero equivalentes, de este número (también irracional y trascendente, como p), cuyo valor aproximadamente es: e = 2'718,,,

Definición 1

Definición 2

Definición 3

Algunos ejemplos de aplicación

  • ¿Te has preguntado alguna vez cuál es la forma más rentable de cobrar el interés ofrecido por un Banco?
  • Si invertimos un capital a un interés compuesto anual del 10% (tema del que todo el mundo suele saber), la fórmula que establece lo que recogeremos al cabo de n años es
  • Pero, ¿sería preferible si nos lo pagaran cada 6 meses a razón del 5%? ¿Sería incluso mejor que nos lo pagaran cada mes a razón del 1%? ¿Tal vez que nos lo pagaran diariamente al 10/365% =0' 0274%? Si pensamos en lo que cogeríamos en un solo año, poniendo 1 euro, vemos que
  • Ya puestos, ¿por qué no imaginar que nos dan el interés por horas, o por minutos, o por segundos, o...¡de manera continua!? No sería tal vez ésta la mejor de las formas posibles? Lo cierto es que sí, que es la forma que nos daría el mejor rendimiento posible para un 10% anual. Ese rendimiento, para 1 euro sería, lógicamente, el valor límite de la expresión cuando n tiende a infinito, el cual resulta ser .
  • Ese crecimiento continuo al que nos acabamos de referir no es nada extraño en el mundo animal. Los modelos propuestos por economistas, biólogos, etc para estudiar crecimientos de poblaciones suelen basarse en la idea anterior, y acaban en fórmulas que inevitablemente incluyen potencias del número e con la variable tiempo en el exponente.
  • ¿Te has preguntado alguna vez cómo dieron los científicos con una fórmula para averiguar la edad de un esqueleto, un fósil, etc? ¿Sabes que también el conocimiento del número e fue fundamental?
    • A mediados del siglo XX, el químico Libby descubrió el carbono-14, un isótopo radiactivo del carbono que desaparece lentamente (su vida media es de 5568 años, es decir, una cantidad dada de C14 tarda 5568 años en reducirse a la mitad). El C14 reacciona con el oxígeno en las capas altas de la atmósfera dando dióxido de carbono radiactivo, el cual entra en la superficie de la Tierra, en la que se desarrolla la vida. Libby decía: Como las plantas viven del dióxido de carbono, tendrán todas algo de radiactividad, y lo mismo ocurrirá con los animales terrestres, ya que viven de ellas. Mientras un ser está vivo, va reponiendo el C14 que pierde, pero cuando ese ser muere, sólo se producirá en él una pérdida continua y lenta de C14.
    • Una vez que los químicos consiguieron llegar a medir la cantidad de C14 contenida en un ser no vivo, como se conocía la velocidad de desintegración del C14, se podía pensar en llegar a una ecuación que les diera como solución el tiempo necesario para que en ese ser quedara tan solo esa cantidad de C14, suponiendo razonablemente que en los animales y plantas vivos del pasado existían cantidades similares a las de ahora. Sólo quedaba, pues, encontrar una fórmula que involucrara la cantidad inicial (CI) de radiactividad, la cantidad actual (CA) y el tiempo (t). Pues bien, la fórmula encontrada fue
      (En la fórmula, Ln2 = 0'69315 es el número al que hay que elevar e para obtener resultado igual a 2)

  • El número f, llamado número de oro, es una de las dos soluciones de la ecuación X ² = 1-X.
    Concretamente,

La otra solución es, precisamente, 1/f = 1,618...
  • El número f aparece en campos tan variados como los reinos vegetal y animal, la poesía, la música, la arquitectura, el arte, etc. y se designa con la letra griega "fi" en honor de Fidias, considerado el escultor de las obras más perfectas de la antigua Grecia.
  • Desde hace cinco siglos, el rectángulo considerado como "el más bello" es aquel en el cual la relación entre la altura y la anchura da resultado igual a f.
  • El rectángulo "más bello" tiene la propiedad de que al quitarle el cuadrado más grande posible, o sea, el de lado igual al lado menor, resulta otro rectángulo más pequeño que también es de "máxima belleza" (Fíjate en la igura 2)
  • Así, podríamos continuar el proceso de división con este rectángulo menor e iríamos obteniendo rectángulos cada vez más pequeños, los cuales serían siempre de "máxima belleza". Luego, uniendo los extremos de esos cuadrados obtendríamos la llamada espiral áurea, presente en objetos naturales tales como la concha del Nautilus, la distribución de semillas del girasol, el feto humano, etc. (figura 3, Nautilus)
  • Según las tradiciones que proponen un canon de belleza del cuerpo humano, si tomamos 1 como medida total del cuerpo, entonces la medida de los pies al ombligo debe ser exactamente f. (figura 4, ideal de L. da Vinci)
  • Leonardo de Pisa, apodado Fibonacci, planteó en el siglo XIII un problema sobre reproducción de conejos que daba como resultado la sucesión
      1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ....,
    Dicha sucesión tiene importantes en Ciencias de la Naturaleza y cada término de ella se obtiene sumando los dos anteriores a él. Curiosamente, si vas dividiendo cada término por su siguiente en la sucesión, verás que salen aproximaciones cada vez mejores del número de oro. Eso no es extraño, ya que en realidad el límite de tales divisiones es el número de oro.


Ver más sobre el número de oro

            


 
El hombre de Vitubrio

Para Leonardo da Vinci, las dimensiones a y b en el cuerpo perfecto deben dar un cociente igual a 0'618....

A LA DIVINA PROPORCIÓN
A ti, maravillosa disciplina,
media, extrema razón de la hermosura,
que claramente acata la clausura
viva en la malla de tu ley divina.
A ti, cárcel feliz de la retina,
áurea sección, celeste cuadratura,
misteriosa fontana de mesura
que el universo armónico origina.

A ti, mar de los sueños angulares,
flor de las cinco formas regulares,
dodecaedro azul
, arco sonoro.

Luces por alas un compás ardiente.
Tu canto es una esfera transparente.
A ti, divina proporción de oro.

                                      R. Alberti

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